单边拉氏变换与傅里叶变换的关系.ppt
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1、五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系,Res0,要讨论其关系,f(t)必须为因果信号。,根据收敛坐标0的值可分为以下三种情况: (1)0-2; 则 F(j)=1/( j+2),复习,(2)0 =0,即F(s)的收敛边界为j轴,,如f(t)= (t)F(s)=1/s,= () + 1/j,(3)0 0,F(j)不存在。 例 f(t)=e2t(t) F(s)=1/(s 2) , 2;其傅里叶变换不存在。,复习,5.2 拉普拉斯变换性质,线性性质 尺度变换 时移特性 复频移特性 时域微分 时域积分,卷积定理 s域微分 s域积分 初值定理 终值定理,复习,f(t-t0)(t-t0)e-st0F(s) ,
2、 Res0,f(t)esat F(s-sa) , Res0+a,f(t) sF(s) f(0-),f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s),复习,5.3 拉普拉斯逆变换,直接利用定义式求反变换-复变函数积分,比较困难。 通常的方法 : (1)查表 (2)利用性质 (3) 部分分式展开 -结合,若象函数F(s)是s的有理分式,可写为,若mn (假分式),可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。,复习,由于L- 11=(t), L -1sn=(n)(t),故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。,下面主要讨论有理真分式的情形。,一、零、极点的概念,若F(
3、s)是s的实系数有理真分式(mn),则可写为,分解,零点,极点,二、拉氏逆变换的过程,求F(s)的极点,将F(s)展开为部分分式,查变换表求出原函数f(t),部分分式展开,1.第一种情况:单阶实数极点,单阶实极点举例,(1)求极点,(2)展为部分分式,(3)逆变换,求系数,假分式情况:,作长除法,第二种情况:极点为共轭复数,共轭极点出现在,求f(t),=2|K1|e-tcos(t+)(t),共轭极点举例,另一种方法,F(s)具有共轭极点,不必用部分分式展开法,求得,第三种情况:有重根存在,如何求K2 ?,K2的求法,逆变换,一般情况,求K11,方法同第一种情况:,求其他系数,要用下式,举例,5
4、.4 复频域分析,一、微分方程的变换解,描述n阶系统的微分方程的一般形式为,系统的初始状态为y(0-) ,y(1)(0-),,y(n-1) (0-)。,思路:用拉普拉斯变换微分特性,若f (t)在t = 0时接入系统,则 f (j)(t) s j F(s),y(t), yzi(t), yzs(t),s域的代数方程,举例,例1 描述某LTI系统的微分方程为 y“(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2f (t)+ 6 f (t) 已知初始状态y(0-) = 1,y(0-)= -1,激励f (t) = 5cost(t), 求系统的全响应y(t),解: 方程取拉氏变换,并整理得,Yzi(s),
5、Yzs(s),y(t)= 2e2t (t) e3t (t) - 4e2t (t) +,yzi(t),yzs (t),暂态分量yt (t),稳态分量ys (t),若已知y(0+)=1,y(0+)= 9,二、系统函数,系统函数H(s)定义为,它只与系统的结构、元件参数有关,而与激励、初始状态无关。,yzs(t)= h(t)*f (t),H(s)= L h(t),Yzs(s)= L h(t)F(s),例2 已知当输入f (t)= e-t(t)时,某LTI因果系统的零状态响应,yzs(t) = (3e-t -4e-2t + e-3t)(t) 求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。,解,h(t)=
6、(4e-2t -2e-3t) (t),微分方程为 y“(t)+5y(t)+6y(t) = 2f (t)+ 8f (t),s2Yzs(s) + 5sYzs(s) + 6Yzs(s) = 2sF(s)+ 8F(s),取逆变换 yzs“(t)+5yzs(t)+6yzs(t) = 2f (t)+ 8f (t),三、系统的s域框图,时域框图基本单元,s域框图基本单元(零状态),例3 如图框图,列出其微分方程,X(s),s-1X(s),s-2X(s),解 画出s域框图,s-1,s-1,F(s),Y(s),设左边加法器输出为X(s),如图,X(s) = F(s) 3s-1X(s) 2s-2X(s),s域的代
7、数方程,Y(s) = X(s) + 4s-2X(s),微分方程为 y“(t) + 3y(t) + 2y(t) = f “(t)+ 4f (t),再求h(t)?,四、用拉氏变换法分析电路的步骤:,列s域方程(可从两方面入手),求解s域方程。,,得到时域解答。,列时域微分方程,用微积分性质求拉氏变换; 直接按电路的s域模型建立代数方程。,什么是电路的s域模型?,五、电路的s域模型,对时域电路取拉氏变换,1、电阻元件的s域模型,U(s)= R I(s),u(t)= R i(t),电阻元件的s域模型,2、电感元件的s域模型,U(s)= sLIL(s) LiL(0-),电感元件的s域模型,3、电容元件的
8、s域模型,I(s)=sCUC(s) CuC(0-),电容元件的s域模型,4、KCL、KVL方程,求响应的步骤,画0-等效电路,求初始状态; 画s域等效模型; 列s域方程(代数方程); 解s域方程,求出响应的拉氏变换U(s)或I(s); 拉氏反变换求u(t)或i(t)。,例1,(1),(2),(3) 列方程,解:,如图电路,初始状态为0,t=0时开关S闭合,求电流i(t)。,故,例2,如图所示电路,已知uS(t) = (t) V,iS(t) =(t),起始状态uC(0-) =1V,iL(0-) = 2A,求电压u(t)。,解 画出电路的s域模型,Us(s)=1/s, Is(s)=1,u(t) =
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