高等数学计算.ppt
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1、符号表达式及其应用 微积分基本运算 Taylor级数展开 常微分方程求解, ,第3章 高等数学计算,MATLAB的符号计算,在数学、物理及各类工程应用中, 除了数值计算外, 还常常需用符号计算. 一般的计算机语言平台只能 实现数值计算, 早期的MATLAB也不能实现符号计 算。1993年MathWorks公司购买了MAPLE的使用 权,并开发出实现符号计算的工具箱Symbolic Math Toolbox. 符号计算需要使用专门函数,功能包括有微积分、 线性代数、方程求解、积分变换等。在MATLAB数 值计算和字符串操作中,变量通过赋值语句创建.但 是符号计算中的变量在使用前,必须要用关键词
2、syms (或其它函数)创建。,2/16,例1. 用符号表达式定义 f = e 0.2x sin (0.5x)并绘图. syms x ; f = exp(-0.2*x)*sin(0.5*x); ezplot(f,0,2*pi),3/16,syms 符号变量1 符号变量2 ,f = exp(-1/5*x) * sin(1/2*x),ezplot( f ) 绘表达式f=f(x)的图 绘图区域 -2*pix2*pi ezplot(f, a,b) 绘图区域:axb,S1=subs(S, old, new)修改表达式 例2. 输入不同的参数a,b绘制函数的图形 f(x)=exp(a x)sin(b x)
3、 function mlab32(a1,b1) syms a b x f=exp(a*x)*sin(b*x); f1=subs(f,a,a1); f2=subs(f1,b,b1); ezplot(f2,0,2*pi),符号表达式中变量替换,4/16,mlab32(-0.6,0.5),例3. 计算曲线段 f(x)=exp(a x)sin(b x), 绕X轴旋转的旋转曲面体积,数据转化为数值数据: double(A) numeric(A),5/16,function V=mlab32(a1,b1) syms a b x f=exp(a*x)*sin(b*x); f1=subs(f,a,a1); f
4、2=subs(f1,b,b1); V=pi*int(f2*f2,x,0,2*pi);,V=mlab32(-.2,.5) double(V) ans = 3.1111,例4.将f(x)=1/x3与g(y)=tg(y)复合并化简,syms x y f=1/x3;g=tan(y); h1=compose(f,g); pretty(h1) h2=compose(g,f),pretty(h2),复合与化简命令: 1.复合:compose(f,g) 2.化为数学形式: pretty(P); 3.化简: simplify(P) ; 4. 因式分解: factor(P) 5. 分离有理函数的分子分母: f,g
5、 = numden(R),6/16,h1 = 1/tan(y)3,1 - 3 tan(y),h2 = tan(1/x3),1 tan(-) 3 x,例3.4 用符号计算验证三角恒等式,syms x1 x2; y1= sin(x1)*cos(x2)-cos(x1)*sin(x2); y2=simple(y1) expand(y2),y2 = sin(x1-x2) ans = sin(x1)*cos(x2)-cos(x1)*sin(x2),练习:分别用simple和simplify对符号表达式 cos(x)2-sin(x)2 进行化简,观察结果,化简符号表达式方法simplify,微积分基本运算,
6、int(f,v) 对f表达式的v变量求积分 int(f,v,a,b) 对v变量求区间a,b上的定积分 diff(f,v) 对指定变量v求微分, diff(f,v,n) 对指定变量v求n阶微分 X=solve(f, x) 求方程 f(x) = 0 的根 limit(f,x,a) 求f表达式在x-a时的极限 symsum(f,k,m,n) 求级数,7/16,求极限运算 求一个数学表达式的极限用命令limit ,使用格式如下 limit(F,x,a) 这一命令的功能是求出符号表达式F当x a.的极限。 ( 1) limit(F,a) 使用与x最接近的英文字母作为自变量; ( 2) limit(F)
7、使用 a = 0 作为自变量的极限点。 求表达式的左极限和右极限命令分别为 LIMIT(F,x,a,right) LIMIT(F,x,a,left),例18、 求极限,syms x a t h; p1=limit(sin(x)/x) p2=limit(x-2)/(x2-4),2) p3=limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf) p4=limit(1/x,x,0,right) p5=limit(1/x,x,0,left),%定义符号变量 %求第一个极限 %求第二个极限 %求第三个极限 %求第四个极限 %求第五个极限,p6=limit(sin(x+h)-sin(x)/h,h,0) v
8、= (1 + a/x)x, exp(-x); p7=limit(v,x,inf,left),%求第六个极限 %定义向量函数 %求第七个极限,得:,函数的台劳(taylor)级数展开 一元函数f(x) 的台劳(taylor)级数展开命令格式为 taylor(f,n,a) 其中,f为函数表达式,n确定级数最高项次数为(n 1),a指定函数在某一点展开。 taylor(f) 得到函数f.的五阶麦克劳林多项式逼近; taylor(f,n) 得到函数f.的(n-1)阶麦克劳林多项式逼近 taylor(f,a) 得到f的关于点a的台劳多项式逼近。 taylor(f,x) 使用自变量x做台劳级数展开。,例1
9、9、 对下列函数做台劳级数展开 (1)e-x在 x=0处作5阶展开,(2)ln x 在x =1处作5阶展开; (3)sin x在x =/2 处5阶展开;(4)xt 在 t =0处作2阶展开。,syms x t T1=taylor(exp(-x),returns 1-x+1/2*x2-1/6*x3+1/24*x4-1/120*x5,T2=taylor(log(x),6,1),x-1-1/2*(x-1)2+1/3*(x-1)3-1/4*(x-1)4+1/5*(x-1)5,T3=taylor(sin(x),6,pi/2),1-1/2*(x-1/2*pi)2+1/24*(x-1/2*pi)4,T4=t
10、aylor(xt,3,t),1+log(x)*t+1/2*log(x)2*t2,得:,例9. 麦克劳林展开函数,syms x f=1/(5+4*cos(x) T=taylor(f,8) Pretty(T),2 4 49 6 1/9 + 2/81 x + 5/1458 x + - x 131220,例3.7计算 f = 1/(5+4cos(x) 关于x的导数,syms x f=1/(5+4*cos(x) ezplot(f) f1=diff(f,x,1) ezplot(f1),f1 = 4/(5+4*cos(x)2*sin(x),可视化符号函数分析界面,1、单变量函数分析的交互界面 单变量函数分析
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