九章节控制网平差.ppt
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1、第九章 控制网平差,本章提要 9.1 条件平差数学模型和公式 9.2 水准网按条件平差算例 9.3 附合导线按条件平差算例 9.4 参数平差数学模型和公式 9.5 高程网参数平差及算例 9.6 三角网网参数平差及算例 习题,本章提要,本章讲述条件平差与参数平差的原理及基本数学模型,两种方法计算结果是完全相同的。还介绍了高程网条件平差,三角网条件平差,附合导线条件平差。高程网参数平差,三角网参数平差,并给出了算例。,1条件平差与参数平差原理 2条件差的步骤及相应数学模型; 3能分别采用条件平差与参数平差解决高程控制网,平面控制网平差。,知识点及学习要求,难点在本章学习过程中, 伴随有大量的公式推
2、导与应用。 特别是控制网条件方程与误差方程列立, 法方程解算为本章的突破点。,9.1 条件平差数学模型和公式,设某一平差问题中有个 误差独立的观测值, 个函数独立的未知数(必要观测数), ,多余观测数为,记:观测值,相应权阵,平差值改正数,平差值,1、条件平差的数学模型和公式 1)平差值方程( ),(1),式中 、 、 ( =1、2、 )为条件方程的系数; 、 、 为条件方程的常项数,2) 改正数条件方程,以 ( =1、2、 )代入(1)得纯量形式为:,(2),式中 、 、 为条件方程的闭合差,或称为条件方程的不符值,即,令,矩阵形式为:,(4),(3),3)改正数方程 上改正数条件方程式中
3、的解不是唯一的解,根据最小二乘原理,在 的无穷多组解中,取 = 最小的一组解是唯一的, 的这一组解,可用拉格朗日乘数法解出。为此,设 , 称为联系数向量,它的唯数与条件方程个数相等,按拉格朗日乘数法解条件极值问题时,要组成新的函数:,将对 求一阶导数,并令其为零得:,(5),上式称为改正数方程,其纯量形式为:,(i=1,2,n) (6),4)法方程,将 代入 得,矩阵形式为:,(7),上式称为联系数法方程,简称法方程。式中法方程系数距阵,为,因 故, 是 阶的对称方阵。,法方程的纯量形式为,(8),从法方程解出联系数K后,将 值代入改正数方程,求出改正数 值,再求平差值 ,这样就完成了按条件平
4、差求平差值的工作。,2、条件平差法求平差值的步骤,根据平差问题的具体情况,列出平差值条件方程式(1),并转化为改正出数的条件方程(2),条件方程的个数等于为多余观测的个数r; 根据条件方程的系数,闭合差及观测值的权组成法方程式(8);法方程的个数等于多余观测的; 解法方程,求出联系数K,并代入法方程检验; 将K代入改正数方程(6),求改正数 值; 将V代入平差值方程 求平差值; 将平差值 代入平差值方程,检验是否满足条件; 精度评定。,2、精度评定,1)单位权中误差,从中误差计算公式可知,为了计算 ,关键是计算 。下面将讨论 的计算方法。,由 直接计算,由联系数 及常数项 计算,直接在高斯杜力
5、特表格中解算,2)平差值函数的权倒数,设有平差值函数为 它的权函数式为:,令 则,这就是高斯约化表中 的计算公式,其规律与 计算规律完全相同。,9.2 水准网按条件平差算例,在如图1所示水准网中, , 两点高程及各观测高差和路线长度列于(表1)中。,试求: () 、 及 点高程之最或然值; () 、 点间平差后高差的中误差。,解:列条件方程式,不符值以“mm”为单位。,已知 ,故 ,其条件方程式为,列函数式。,故,组成法方程式。,1)令每公里观测高差的权为1,按1/ ,将条件方程系数及其与权倒数之乘积填于(表2)中。,2)由下表2数字计算法方程系数,并组成法方程式:,+,=0,表2 条件方程系
6、数表,续表,4)法方程式的解算。 1)解算法方程式在(表3)中进行。 2) 计算之检核。,由表3中解得 ,两者完全一致,证明表中解算无误。 5)计算观测值改正数及平差值(见表4) 6)计算 点高程最或然值。,m,m,m,表3 高斯-杜力特表格,表4 改正数与平差值计算表,7)精度评定。 单位权(每公里观测高差)中误差,mm,点间平差后高差中误差,mm,9.3 附合导线按条件平差算例,1.附合导线的条件平差方程式,如图1所示,符合在已知 , 之间的单一符合导线有 条 与 是已知方位角。,设观测角为 、 、 、 ,测角中误差为 ,观测边长为 、 、 、 ,测边中误差为 ( 1、2、 )。,此导线共
7、有 个观测值,有 个未知数,故 则 。因此,应列出三个条件方程,其中一个是坐标方位角条件,另两个是纵、横坐标条件。,1)坐标方位角条件 设观测角 的改正数为 ( 1、2、 1),观测边 的改正数为 ( 1、2、 )。由图1知,式中 方位角条件的不符值,按,若导线的A 点B 与点重合,则形成一闭合导线,由此坐标方位角条件就成了多边形的图形闭合条件。,2)纵、横坐标条件 设以 、 、 表示(图1)中各导线边的纵坐标增量之平差值; 、 、 表示(图1)中各导线边的横坐标增量之平差值;由图可写出以坐标增量平差值表示的纵、横坐标条件。,(1),令,则,(2),将上式代入式(2)得纵坐标条件式,且同理已可
8、得横坐标的条件式即,(3),上式就是单一符合导线的纵、横坐标条件方程、为条件式的不符值,按,式中、是由观测值计算的各导线点的近似坐标。,计算时一般 以秒为单位, 、 、 以cm为单位; 若 、 以m为单位,则 , 从而使全式单位统一。若单一导线的 与 点重合形成闭合导线,则纵、横坐标条件成为多边形各边的坐标增量闭合条件,以增量平差值表示为,2.符合导线的精度评定 1)单位权中误差:单一符合导线计算单位权中误差公式与边角网相同,按,2)平差值的权函数式:为了平定平差值函数的精度,必须要列出权函数式。一般有下列三种函数式。 边长平差值权函数式 由导线边 故其权函数式为,坐标平差值的权函数式 由(2
9、3页图1)得点坐标平差值的权函数式为,坐标方位角平差值权函数式 由(23页图1)得单一符合导线的任一边的坐标方位角的计算式为,3.附合导线按条件平差算例,在下图2所示附合导线中A,B 为已知点,其坐标为,方位角 ,应用红外测距仪观测导线的转折角 和边长 列入下表1。试按条件平差法,求各观测值及平差后 边的边长相对中误差。,表1 近似坐标计算,解:(1)确定观测值的权。 测角中误差,边长中误差按仪器给定公式为,(cm),式中,以cm为单位。,由上式算得,cm,cm,cm,cm,以角度观测的权为单位权,即,表2 条件方程及权函数式系数表,续表,则边长的权为,边长权倒数为,(2)计算条件方程式不符值
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