傅里叶变换.ppt
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1、傅里叶变换,主 讲:李 韵,先介绍一下连续LTI系统(线性时不变系统)的时域分析。以冲激函数为基本函数,任意输入信号可分解为一系列冲激函数。,-冲激函数的连续和(积分),这一系列冲激函数叠加输入系统所产生的响应(零状态响应),也就是e(t)作用与系统的零状态响应,是激励信号e(t)与系统冲击响应的卷积,即 rzs(t)=e(t)*h(t) 这种处理方法是基于线性系统满足叠加性这一原理。当然,信号分解的基本函数也可取其他形式。本章将以正弦函数(正弦和余弦函数可统称为正弦函数)或虚指数函数ejt=cost+jsint 为基本函数。任意输入信号可表示为一系列不同频率的正弦函数或虚指数函数之和(对于周
2、期信号)或积分(对于非周期信号)。即对于周期信号,可分解为傅里叶级数,其频率分布是轴上的一些离散的点,故其频谱是离散谱;而对于非周期信号,可看做是不同频谱的各“分量”(可用于正弦函数或虚指数函数表示)的连续和-积分,它包含了频率从0到的一切频率“分量”,即其频率连续分布于轴上,故其频谱是连续谱。,第二节 周期信号的傅里叶级数分析,周期信号是定义在(-,+)区间,每隔一定时间T,按相同规律重复变化的信号。它可表示为 f(t)=f(t+mT) 式中m为任意整数,T称为该信号的重复周期,简称周期。周期的倒数f 称为该信号的频率。=2/T称为该信号的角频率。 1、傅里叶级数分解式 设f(t)是周期为T
3、1,角频率为1=2/T1 的周期函数,它可展开(或分解)为傅里叶级数,(3-1),式中n为正整数,an,bn,cn为各次谐波分量的幅度值,可按以下公式计算: 直流分量 。(3-2) 余弦分量的幅度 (3-3) 正弦分量的幅度 (3-4) 且有 (3-5),必须指出,并非任意非周期信号均能进行傅里叶级数展开。被展开的周期函数需要满足狄里赫利充分条件: (1)函数如果有间断点存在,则在一周期内只能有有限个间断点; (2)在一周期内,函数有有限个极大值和极小值; (3)函数在一周期内是绝对可积的,即 为有限值(T1为周期)。 我们通常遇到的周期信号都满足以上条件,所以,以后除非有特殊需要,一般不再考
4、虑这一充分条件。 式2-1表明,任何满足狄里赫利条件的周期函数都可分解为直流分量和许多余弦、正弦分量。这些余弦、正弦分量的频率必定是基频f1(f1=1/T1)的整数倍。通常把频率为f1的分量称为基波,频率为2f1,3 f1 , 等分量分别称为二次谐波、三次谐波等等。显然,直流分量的大小以及基波和各次谐波的幅度、相位均取决于周期信号的波形。 另外,从式2-3至式2-5可见,各分量的幅度an,bn,cn 及相位n 都是频率n1的函数。如果把cn与n1的关系画成如图2-1那样的线图,就可清楚而直观的看出各频率分量的相对大小。,这种图称为信号的幅度频谱,简称为幅度谱。连接各谱线顶点的曲线(3-1中虚线
5、所示)称为包络线,它反映了各分量的幅度变化情况。类似的,也可以画出各分量的相位n都是频率n1的线图,这种图称为相位频谱,简称相位谱。从图3-1所示的幅度谱和相位谱的例子可见,周期信号的频谱只会出现在0,1,21,等离散频点上,故称其为离散谱或线状谱,这是周期信号频谱的主要特点。,我们将式3-1中的正弦、余弦项用虚指数函数代入,即,则式(3-1)可写成,这就是指数形式的傅里叶级数展开式。在这个式子中n出现了负值,即出现了负的频率,这是由于sin(n1t)和cos(n1t)写成指数形式时,引入了-jn1t 项。负频率的出现完全是数学运算带来的结果,并没有任何物理意义,信号的实际频率只能是正数,而不
6、可能是负数。,。,。(3-6),。(3-7),且,n=-n,(3-8),(3-9),(3-10),。,同样可以画出指数形式表示的信号频谱,由于Fn一般是复变函数,所以称这种频谱为复数频谱。又由于n从-+,频率n1也从负无穷大变化到正无穷大,所以这种频谱为双边频谱。根据Fn=|Fn|ejn,可以画出复数幅度谱|Fn|及复数相位谱n,如图3-2(a)、(b)所示。如果Fn为实数,则可以用Fn的正负表示n的0,此时可将幅度谱和相位谱合画在一张图上,如图3-2(c)所示,从式3-9、3-10和图3-2均可以看到,|Fn|是n(或频率n1)的偶函数,幅度谱相对于纵轴对称;而n是n(或频率n1)的奇函数,
7、相位谱相对于原点对称。,2、函数的对称性与傅里叶系数的关系 在将已知函数f(t)展开为傅里叶级数时,如果f(t)为实函数且其波形满足某种对称性,则有些傅里叶系数将等于0,从而使傅里叶系数的计算较为简便。函数波形的对称性有两类,一类是对于整周期对称,例如偶函数和奇函数;另一类是对于半周期对称,例如奇谐函数。前者决定级数中只含有余弦项或正弦项,后者决定级数中只含有偶次项或奇次项。 下面分几种情况讨论: (1)偶函数 当f(t)的波形关于纵轴对称,即 f(t)=f(-t) 此时式3-3、3-4中的被积函数f(t)cos(n1t)为t的偶函数,而 f(t)sin(n1t)为t的奇函数,且有 。 。 。
8、,因此,偶函数的Fn为实数。在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项,只可能含有直流项和余弦项。 (2)奇函数 当f(t)的波形关于纵轴反对称,也即关于原点对称,即 f(t)=-f(-t) 此时式3-3、3-4中的f(t)cos(n1t)为奇函数,而f(t)sin(n1t)为偶函数,故有,由此可见,奇函数的Fn为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项,只可能含有正弦项。虽然在奇函数上加以直流分量,就不再是奇函数,但在它的级数中仍然不会含有余弦项。 (3)奇谐函数 如果将f(t)的前半周期波形沿时间轴平移T1/2后,与后半周期波形关于时间轴对称,即满足,则这样的函数称为奇谐函数或半波对称函数。,
9、显然f(t)cos(n1t)和f(t)sin(n1t)的积分为一个不为0的定值。而f(t)cos(n1t)和f(t)sin(n1t)的积分为0,即,依次类推,可以得到:,由此可见,在半波对称周期函数的傅里叶级数中,只会含有基波和奇次谐波的正弦、余弦项,而不会包含直流项和偶次谐波项,这也是奇谐函数名称的由来。 如果f(t)的波形是偶半波对称,即,一般函数,可分解为奇函数和偶函数之和,利用基函数和偶函数的特点,将它们分别展开成傅里叶级数再相加,有时可使运算过程简化。另外,函数的对称性不仅与f(t)的波形有关,还与坐标原点的选取有关。,。,第三节 非周期信号的指数表示法-傅里叶变换,重要的非周期信号
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