电路分析基础第3章 正弦交流电路.ppt
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1、第3章 正弦交流电路,3.1 正弦交流电的基本概念 3.2 正弦交流电的基本参数 3.3 正弦量的相量表示法 3.4 R、L、C单一元件的正弦交流电路 3.5 RLC串联交流电路 3.6 复阻抗电路 3.7 正弦交流电路的功率 3.8 电路中的串联谐振 3.9 复杂正弦交流电路的稳态分析,本章主要讨论正弦交流电的基本概念、基本参数以及正弦量的相量表示法,阐述R、L、C单一元件及组合电路的正弦交流电路的工作情况,并讨论正弦交流电路的功率、谐振及分析方法等。,3.1 正弦交流电的基本概念 3.1.1 正弦交流电概述 前面已讨论了直流电路的分析,在直流电路中电压或电流的大小和方向都是不随时间而变化的
2、,但在交流电路中,电压或电流的大小和方向都随时间而变化。交流电的电压、电流的变化规律多种多样,应用得最普遍的是按正弦规律变化的交流电。 正弦交流电在现代工农业生产及其他各方面都有着极为广泛的应用,例如电热、冶金、电讯、照明等许多方面都采用正弦交流电。此外在许多场合需要用的直流电,如地下铁道、矿山电力牵引、城市电车、电镀以及电子技术等也多是由正弦交流电经过整流后得到直流电的。,正弦交流电本身存在着独有的一些优良特性。在所有周期性变化的函数中,正弦函数为简谐函数,同频率的正弦量通过加、减、积分、微分等运算后,其结果仍为同一频率的正弦函数,这样就使得电路的计算变得简单。 日常使用的正弦交流电可分为单
3、相和三相两种。单相电路中的一些基本概念、基本规律和基本分析方法同样适用于三相电路。另外,在直流电路中所学的一些基本原理及分析方法等在交流电路中也同样适用,但要注意在交流电路中由于电压、电流等均为随时间变化的物理量,因此交流电路的分析方法与直流电路的分析方法相比较,还有一些概念上的差别,分析时应加以注意。,如果电路中含有一个或几个频率相同并按正弦规律变化的交流电源,就称这种电路为正弦交流电路。本章主要以单相正弦交流电路为例来阐述正弦交流电的一些基本概念、定 律及分析方法等。,3.1.2 正弦交流电的方向 由于正弦交流电压或电流的大小和方向都在随时间作正弦规律变化,它的实际方向经常都在变动,如果不
4、规定电压、电流的参考方向就很难用一个表达式来确切地表达出任何时刻电压、电流的大小及其实际方向。参考方向的规定和前述 直流电路中一样,电流的参考方向可用箭标或双下标表示,电压的参考方向可用“+”、“-”极性来表示。例如图3.1.1(a)为一个正弦电流的波形图,图3.1.1(b)为假定电压、电流的参考方向。,图3.1.1 正弦电流的波形及参考方向,当正弦电压或电流的瞬时值u或i大于零时,正弦波形处于正半周,否则就处于负半周。u或i的参考方向即代表正半周时的方向,也就是说,在正半周,由于u、i的值为正,所以参考方向与实际方向相同;在负半周,由于其值为负,所以参考方向与实际方向相反。,3.2 正弦交流
5、电的基本参数 正弦交流电压、电流以及电动势统称为正弦量。正弦量的特征表现在变化的大小(幅值)、快慢(频率)和初相位三个方面,所以幅值、频率和初相位是确定正弦交流电的三个要素。 3.2.1 正弦量的瞬时值、幅值和有效值 电路在正弦交流电源的作用下将出现正弦电压和电流,即有 u=Umsin(t+u) (3.2.1) i=Imsin(t+i) (3.2.2) u和i的波形如图3.2.1所示。,图3.2.1 正弦电压和电流的波形,正弦电压或电流在每一个瞬时的数值称为瞬时值,用小写字母u或i表示。瞬时值中的最大值称为幅值,它用有下标m的大写字母Um或Im表示。 在正弦交流电的计算和分析中,计算每一瞬间的
6、电压和电流的大小是没有多少实际意义的,为此引入一个表示正弦电压或电流大小的特定值,即有效值。正弦电流的有效值是根据正弦电流与直流电流的热效应相等来规定的。在图3.2.2所示的两个等值电阻里分别通以正弦电流i=Imsint和直流电流I,如果在相同的时间内(如一个周期T)两者所产生的热量相等,那么就把该直流电流I的数值定义为该正弦电流i的有效值。,图3.2.2 正弦电流的有效值,根据上述定义和微积分等相关知识推得 即电流有效值与幅值的关系为 同理可得正弦电压和电动势的有效值为 ,(3.2.3),我们一般所说的正弦电压或电流的大小都是指它们的有效值。各种交流电压表和交流电流表的读数值也是指有效值,例
7、如,常说的220V民用电,即为有效值。 有效值用大写字母表示,这和直流时是一样的,我们在使用时应注意区别。,3.2.2 正弦量的频率与周期 正弦量完成一个循环变化所需的时间称为周期T,单位为秒(s)。一秒内的周期数称为频率f,单位为赫兹(Hz),简称赫,即周/秒。可见,频率和周期互为倒数,即 正弦量的变化快慢还可以用角频率来表示。对同一正弦波,横轴既可用时间t,又可用角度t来表示,如图3.2.3所示。 具有角速度的量纲,当t=T时,T=2,故,(3.2.5),(3.2.6),图3.2.3 正弦电压波形,式(3.2.6)表明,角速度(或角频率)表示在单位时间内正弦量所经历过的角度,其单位为弧度/
8、秒,用rad/s表示。 由此可见,f、T、都是用来描述正弦量变化快慢的物理量,三者是相互关联的,我们只要已知其中之一,就可得知另外两个。在我国和其他大多数国家都规定电力系统供电的标准频率是50Hz,习惯上称之为工频。 一般交流电机、照明负载及家用电器等都使用工频交流电。但在其他不同的领域内则需使用各种不同的频率,以满足工程的需要。,例3.2.1工频交流电的周期和角频率各为多少? 解 因为f=50Hz,故有,3.2.3 正弦量的初相和相位差 要完整地确定一个正弦量,除了要知道其幅值和频率外,还需知道正弦量的初相。对于正弦电流i=Imsin(t+),其电角度(t+)称为正弦量的相位角;当t=0(计
9、时起点)时的相位角就称为初相角,简称初相。图3.2.4为不同初相时的正弦电流波形示意图。 初相角的单位可以用弧度或度来表示,初相角的大小与计时起点的选择有关。另外,初相角通常在|的主值范围内取值。,图3.2.4 不同初相时的正弦电流波形,在正弦交流电路的分析中,有时需要比较同频率的正弦量之间的相位差。例如在一个电路中,某元件的端电压u和流过的电流i频率相同,设 u=Umsin(t+u) i=Imsin(t+i) 它们的初相分别为u和i,则它们之间的相位差(用表示)为 =(t+u)-(t+i)=u-i (3.2.7) 即两个同频率的正弦量之间的相位差就是其初相之差,相位差不随时间而变化。,当=u
10、-i0时,这时u总是比i先经过零值或正的最大值,这说明在相位上u超前i一个角,或者说i滞后u一个角,如图3.2.5(a)所示。 当=u-i=0时,这说明u和i的初相相同,或者说u和i同相,如图3.2.5(b)所示。 当=u-i=180时,这时u和i相位相反,或者说u和i反相,如图3.2.5(c)所示。,图3.2.5 正弦电压和电流的相位差,例3.2.2某正弦电流完成一周变化所需时间为1ms,求该电流的频率和角频率。 解,例3.2.3已知正弦电压u=100sin(628t-30)V,求该正弦电压的幅值Um、有效值U、角频率、周期T和初相角。 解 Um=100V, ,例3.2.4若正弦电压u1=U
11、1msintV,u2=U2msin(2t-30)V,则 A.u2相位滞后u130角 B.u2相位超前u130角 C.u2、u1同相 D.以上三种说法都不正确 解 D。因为它们的频率不同,不能进行相位比较。,例3.2.5电流波形如图3.2.6所示,(1)计算两个正弦电流iA和iB的频率、有效值及iA与iB之间的相位差;(2)写出iA和iB的瞬时值表达式。,解 (1)因为 ,所以有,(2) iA=14.1sin(314t+60)A iB=7.07sin(314t-30)A,图3.2.6 例3.2.5的波形图,3.3 正弦量的相量表示法 一个正弦量通常有两种表示法,一种是三角函数解析式,如i=Ims
12、in(t+),这是正弦量的最基本表示法;另一种是用波形图来表示。这两种方法均能正确无误地表达出正弦量的三要素。但是,在正弦交流电路的分析和计算中,有时使用上述两种方法会显得相当繁琐,其结果还容易出错,因此在实际计算中往往采用相量表示法。通过相量的运算可使电路的分析和计算变得十分简便。,3.3.1 有向线段与正弦函数 一个正弦量可以用一个其初始角等于正弦量初相的有向旋转线段来表示。由于在正弦电路中各正弦量的频率是相同的,所以我们可将角频率这个要素暂时略去,只需要有向线段的长度和初始角即可,因此一个正弦量可用一个有向线段来唯一表示。 3.3.2 正弦量的相量表示法 正弦量可以用有向线段来表示,而有
13、向线段又可用复数来表示,因此可以用复数来表示正弦量。相量表示法就是以复数运算为基础的,复数的表示如图3.3.1所示。,图3.3.1 复数的表示,一个复数A可以用下述几种形式来表示。 1.代数形式 A=a+jb (3.3.1) 式中, 称为虚数单位。 2.三角形式 A=rcos+jrsin=r(cos+jsin) (3.3.2),式中,,称为A的辐角。,3.指数形式 根据欧拉公式 ej=cos+jsin (3.3.3) 可以把复数A写成指数形式为 A=rej (3.3.5),或,4.极坐标形式 A=r (3.3.6) 式(3.3.6)是复数的三角形式和指数形式的简写形式。 上述几种复数的表达式可
14、以互相转换。复数的加减运算常用代数形式,而乘除运算则常用指数式和极坐标式。 为了与一般的复数相区别,我们把表示正弦量的复数称为相量,并在大写字母上打“.”以示区别。例如正弦电压u=Umsin(t+),则它的相量表示为,今后在电路的分析中,若无特殊说明,一般是指有效值的相量形式。,例3.3.1把下列复数化为代数形式。 (1)5060 (2)91.3-78 (3)58269 解 (1)5060=50(cos60+jsin60)=25+j43.3 (2)91.3-78=91.3cos(-78)+jsin(-78)=19-j89.3 (3)58269=58(cos269+jsin269)=-1.01+
15、j57.99 例3.3.2某正弦电压u=20 sin(t+30)V,求其相量表达式。 解 其相量为,例3.3.3已知下列复数的代数形式,试求它们的极坐标形式 (1)j (2)-j (3)3-j4 (4)-2-j6 解 (1)j=cos90+jsin90=190 (2)-j=1-90,(3),(4),例3.3.4求下列相量所对应的正弦量。 (1) (2) (3) (4) 解 (1) (2) (3),故,(4) 故,3.3.3 相量图及相量运算 1.相量图 在复平面上用有向线段表示相量就构成相量图。有向线段的长度表示该相量的模,它与实轴的夹角就等于该相量的辐角。如果有几个同频率的相量画在同一复平面
16、中,则各有向线段的长度必须和它们的模成比例。另外,在画相量图时,有时也可不必画出复平面上的实轴和虚轴。 需要说明的是,只有正弦量才能用相量表示;只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上,否则就无法进行比较。,2.相量的四则运算 虽然相量图标示了各相量之间的大小和相位关系,在一定程度上能帮助我们定性地分析较复杂的问题,但从相量图中有时很难“看”出精确的结果,因此在作定量分析时大多采 用相量分析法,即相量的四则运算来求解正弦交流电路。 (1)加减运算。 相量相加或相减的运算可用代数形式来进行。例如设两个相量 A=a1+jb1, B=a2+jb2 则 AB=(a1a2)+j(b1b2) (3.3.7)
17、,相量相加或相减运算也可采用平行四边形法则在复平面上用作图法来进行,这种方法也称为相量图法。图3.3.2(a)、(b)分别示出了两个相量A和B相加和相减的运算过程。,图3.3.2 两个相量相加和相减的几何意义,(2)乘除运算。 A、B两个相量相乘时,用代数形式表示为 用指数形式或极坐标形式,则有 或 可见,相量A乘以相量B的几何意义就是把相量A的模ra乘以B的模rb后再把相量A逆时针旋转一个角度b。,相量A除以相量B时,用代数形式表示为,用指数形式或极坐标形式表示为,或,(3.3.10),(3.3.11),其几何意义相当于把相量A的模ra除以B的模rb后再把相量A顺时针旋转一个角度b。,3.3
18、.4 j的物理意义 根据欧拉公式 ej=cos+jsin 当=90时,则 ej90=cos90jsin90=j (3.3.12) 可见,任意一个相量乘以+j后即逆时针(向前)旋转90;乘以-j后即顺时针(向后)旋转90,所以j被称为一个旋转90的因子。,例3.3.5已知A1=10+j3,A2=-2+j6,求 (1)A1+A2 (2)A1A2 (3) 解 (1)A1+A2=(10+j3)+(-2+j6)=8+j9 (2)A1A2=(10+j3)(-2+j6)=-38+j54 (3),3.3.5 基尔霍夫定律的相量形式 1.KCL的相量形式 式中,ik可以是时间的任意函数。例如对于正弦交流电路,这
19、些电流都是同频率的正弦量,仅是幅值和初相位不同而已。如改用电流的有效值相量则有 这即为KCL的相量形式。,(3.3.13),2.KVL的相量形式 依KCL的分析,同理可知,在正弦交流电路中,沿任一回路的KVL相量形式为 可以看出:在形式上,它们和直流电路的KCL、KVL表达式是一样的,只要将正弦交流电路中的电压和电流改用相量表示就可以了。,(3.3.14),例3.3.6已知 , 求i=i1+i2的表达式,并画出相量图。 解 先转换成相量的形式进行运算。i1、i2的相量分别为 总电流相量为 ,最后将总电流的相量形式变换成正弦函数表达式为 其相量图如图3.3.3所示。,图3.3.3 例3.3.6解
20、图,例3.3.7在图3.3.4所示电路中,已知各元件上的电压分别为 、 、 ,电源频率为50Hz,求总电压u的表达式。 解 取顺时针方向为回路绕行方向,列写KVL的相量形式,有 故,图3.3.4 例3.3.7的电路,3.4 R、L、C单一元件的正弦交流电路 我们在前面已介绍了三种无源二端元件R、L和C,在u、i取关联参考方向的前提下,它们各自的约束关系分别为u=Ri、 和 。这里的u和i可为时间的任意函数,在正弦交流电路中,u和i便是时间的正弦函数。为了采用相量来求解正弦交流电路,有必要将这三种元件的约束关系由瞬时表达式转化为相量表达式并讨论其功率方面的一些内容。,3.4.1 电阻元件 1.电
21、压与电流的相量关系 图3.4.1(a)是一个线性电阻R的交流电路,在电阻元件交流电路中u和i是两个同频率的正弦量,在数值上它们之间的关系满足欧姆定律,而在相位上u与i是同相的,如图3.4.1(b)所示。另外,线性电阻R的阻值是与u、i的频率无关的。 如将大小和相位综合起来考虑,可用相量形式来表示电压与电流的关系为 用相量图表示如图3.4.1(c)所示。,(3.4.1),图3.4.1 电阻元件的交流电路,2.有功功率(平均功率)P 图3.4.1(d)表示了线性电阻R的功率情况,在任意瞬间,把某元件的电压瞬时值和电流瞬时值的乘积称为该元件的瞬时功率,一般用小写字母p表示。对于线性电阻R,它在任 意
22、时刻消耗的瞬时功率为,(3.4.2),由式(3.4.2)可看出:p由两部分组成,第一部分是常数UI;第二部分是幅值为UI并以2角频率随时间而变化的交变量,这两部分合成的结果表现为瞬时功率的曲线总是为正,即p0,这说明电阻元件R在任何瞬间都是从电源吸收电能,并将电能转化为热能,这种转换是不可逆的能量转换过程,它与电阻R中某瞬间的电流方向无关。 瞬时功率虽能够充分表明电阻元件在交流电路中的物理特性,但由于它是一个随时间而变化的量,计算起来仍有不便,因此我们在进行计算时常取瞬时功率在一个周期内的平均值来表示电功率的大小,我们称之为平均功率并用大写字母P来表示,即有,这里,用电压和电流的有效值来计算电
23、阻元件所消耗的平均功率时,计算公式和直流电路中计算功率的公式完全相同,这也从另外一个侧面说明了交流有效值的“含义”。 值得强调的是,由于平均功率就是实际消耗的功率,我们有时又称之为有功功率。有功功率的单位为瓦(W)或千瓦(kW),它反映了一个周期内电路(这里为电阻R)消耗电能的平均速率。关于“有功”二字的含义,要认真加以体会和注意。,(3.4.3),例3.4.1交流电压 作用于50电阻的两端,试写出电流的瞬时值表达式并计算电路的平均功率。 解 设u、i为关联参考方向,电流的有效值为 又由于电阻电路中u、i同相位,故有 则电路的平均功率(也就是电阻元件R消耗的功率)为 P=UI=2204.4=9
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