电路分析基础第4章 动态电路的时域分析.ppt
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1、第4章 动态电路的时域分析,4.1 电容元件和电感元件 4.2 换路定律及初始值的计算 4.3 一阶电路的零输入响应 4.4 一阶电路的零状态响应 4.5 一阶电路的全响应 4.6 求解一阶电路的三要素法 4.7 一阶电路的阶跃响应 *4.8 二阶电路的时域分析 习题4,4.1 电容元件和电感元件 4.1.1 电容元件 1. 电容元件的定义 电容元件是从实际电容器中抽象出来的理想化模型。实际电容器通常由两块金属极板中间填充以绝缘介质构成,如图4.1-1所示。,图4.1-1 平板形电容器,电容元件的定义如下:一个二端元件,如果在任一时刻t,其电荷q(t)与端电压u(t)之间的关系可以用q-u平面
2、上的一条曲线来描述,则称该二端元件为电容元件。若q-u 平面上的曲线是一条通过原点的直线,且不随时间变化,如图4.1-2(a)所示,则称此电容元件为线性时不变电容元件。理想电容元件的电路符号如图4.1-2(b)所示。,图4.1-2 线性时不变电容元件的q-u关系及电路符号,由图4.1-2(a)可知,对于线性时不变电容元件,在电压与电荷的参考极性一致的条件下,在任一时刻,其电荷量q(t)与其端电压u(t)的关系满足 q(t)=Cu(t) (4.1-1),2. 电容元件的伏安关系 在关联参考方向下,有 将式(4.1-1)代入上式,得 如果电容电压uC与电流iC取非关联参考方向,则式(4.1-2)改
3、写为,(4.1-3),(4.1-2),3. 电容电压的记忆性和连续性 我们可以把电容电压uC(t)表示为电流iC(t)的函数。对式(4.1-2)积分,可得 式(4.1-4)为电容元件伏安关系的积分形式。如果我们只对某一任意选定的初始时刻t0以后的电容电压情况感兴趣,则式(4.1-4)可分段积分,(4.1-5),(4.1-4),式中 称为电容电压的初始值,它反映了t0以前电容的全部“历史”以及“历史”对未来(tt0)产生的效果。 如果电容电流iC(t)在无穷小区间t0,t0+为有限值,则上式等号右端第二项积分为零,于是有 uC(t0+)=uC(t0) (4.1-7) 若初始时刻t0=0,则上式可
4、写为 uC(0+)=uC(0) (4.1-8),(4.1-6),4 电容元件的储能 如前所述,电容元件是储能元件,它能将外部输入的电能储存在它的电场中。 在电容电压、电流取关联参考方向的条件下,在任一时刻,电容元件的瞬时功率为,(4.1-9),设在一段时间t1,t2内,对电容充电,则电容吸收的能量为 由此我们可得出某一时刻t电容的储能为,(4.1-10),(4.1-11),【例4.1-1】 电路如图4.1-3(a)所示,已知电容C=2 F,电压u(t)的波形如图4.1-3(b)所示,试画出电流i(t)、瞬时功率p(t)和储能w(t)的波形。,图4.1-3 例4.1-1用图(一),解 首先由图(
5、b),分段写出u(t)的数学表达式为 然后由图(a)可知,电压u(t)与电流i(t)为关联参考方向,根据式(4.1-2),电容元件的伏安关系 ,将以上u(t)的表达式代入,得 画出瞬时功率p(t)的波形,如图4.1-4(b)所示。,图4.1-4 例4.1-1用图(二),4.1.2 电感元件 1电感元件的定义 电感元件是实际电感器的理想化模型。把金属导线在骨架上密绕多匝就构成了一个实际的电感器,常称为电感线圈,如图4.1-5所示。,图4.1-5 电感线圈,电感元件的定义如下:一个二端元件,如果在任一时刻t,其磁链(t)与电流i(t)之间的关系可用-i平面上的一条曲线来描述,则称该二端元件为电感元
6、件。若-i平面上的曲线是一条通过原点的直线,且不随时间变化,如图4.1-6(a)所示,则称此电感元件为线性时不变电感元件。理想电感元件的电路符号如图4.1-6(b)所示。,图4.1-6 线性时不变电感元件的-i关系及电路符号,由图4.1-6可知,对于线性时不变电感元件,在磁链(t)与电流i(t)的参考方向符合右手螺旋定则的条件下,磁链与电流的关系满足 (t)=Li(t) (4.1-12),2 电感元件的伏安关系 当通过电感元件的电流发生变化时,产生的磁链也相应地发生变化。根据电磁感应定律,这一变化的磁链将在电感元件两端产生感应电压,感应电压等于磁链的变化率。当电压的参考方向与磁链的参考方向符合
7、右手螺旋定则时,有 将式(4.1-12)代入上式,得,(4.1-14),(4.1-13),如果电感电压uL(t)与电流iL(t)的参考方向非关联,则式(4.1-14)应改写为,(4.1-15),3电感电流的记忆性和连续性 观察式(4.1-2)和式(4.1-14)可以看出,电感元件的VAR与电容元件的VAR相似。根据电路的对偶原理,只要把式(4.1-2)中的电流换为电压,电压换为电流,电容换为电感,便得到式(4.1-14)。因此,电感电流iL(t)也具有与电容电压uC(t)相似的性质,即记忆性和连续性。 与电容元件的分析相似,对式(4.1-14)积分,得,(4.1-16),式(4.1-16)为电
8、感元件伏安关系的积分形式。如果我们只对某一初始时刻t0之后的电感电流情况感兴趣,则式(4.1-16)可分段积分 式中,(4.1-17),(4.1-18),如果电感电压uL(t)在无穷小区间t0,t0+为有限值,则上式等号右边第二项积分为零,于是有 若初始时刻t0=0,则式(4.1-19)可写为 iL(0+)=iL(0) (4.1-20),(4.1-19),4 电感元件的储能 在电感电压、电流取关联参考方向的条件下,在任一时刻,电感元件的瞬时功率为 在一段时间t1,t2内,电感元件的储能为,(4.1-21),(4.1-22),由式(4.1-22)可知,在区间t1,t2内电感获得的储能只与两个时间
9、端点的电感电流值iL(t1)和iL(i2)有关,此式反映了电感储能的变化。因此,我们可得出某一时刻t电感的储能为,(4.1-23),【例4.1-2】 电路如图4.1-7所示,已知iR(t)=42e10t A,求电流i(t)。 解 首先根据电阻元件的VAR式,求得电阻两端电压 uR(t)=RiR(t)=5(42e10t)=2010e10t V 然后由电容元件VAR的微分形式,得电容电流 最后应用KCL,得电流 i(t) =iR(t)+iC(t)=(42e10t)+e10t=4e10t A,图4.1-7 例4.1-2用图,4.2 换路定律及初始值的计算 4.2.1 动态电路的过渡过程 当动态电路的
10、结构或元件参数发生变化时,电路将从一个稳定状态变化到另一个稳定状态,这种变化一般需要经历一个过程,这个过程称为过渡过程。通常把电路中电源的接入或断开,以及元件参数或电路结构的突然改变,统称为“换路”。下面以图4.2-1(a)所示的动态电路为例来说明过渡过程的概念。,图4.2-1 动态电路过渡过程说明用图,4.2.2 换路定律 如果电容电流iC和电感电压uL在无穷小区间t0,t0+为有限值,则上面两式中等号右边第二项积分为零,于是有 通常,习惯选择换路时刻t0=0,则式(4.2-1)可改写为,(4.2-2),(4.2-1),4.2.3 初始值的计算 【例4.2-1】 电路如图4.2-2所示。已知
11、开关S闭合前电路已处于稳定状态,在t=0 时开关闭合,求初始值iL(0+)、uL(0+)和i(0+)。 解 (1) 先计算电感电流iL(0)。开关闭合前电路已处于稳态,且在直流电源作用下,这时电感相当于短路,t=0时的电路如图4.2-3(a)所示。由图(a)可得,图4.2-2 例4.2-1用图(一),图4.2-3 例4.2-1用图(二),(2) 根据换路定律,有 iL(0+)=iL(0)=1 A (3) 画出换路后瞬间t=0+时的等效电路,计算其他支路电压、电流的初始值。根据置换定理,用一个电流值等于iL(0+)=1 A的理想电流源代替电感元件,画出t=0+时的等效电路如图(b)所示。对图(b
12、)中右边一个回路应用KVL,得 R2iL(0+)+uL(0+)=0 故 uL(0+)=R2iL(0+)=41=4 V 由图(b)左边回路,得,【例4.2-2】 电路如图4.2-4所示。开关S开启前电路已处于稳定状态,在t=0时开关开启,求初始值i(0+)、 iC(0+)和uL(0+)。,图4.2-4 例4.2-2用图(一),解 (1) 先计算电容电压uC(0)和电感电流iL(0)。开关开启前电路已处于直流稳定状态,这时电容相当于开路,电感相当于短路,t=0时的等效电路如图4.2-5(a)所示。由图(a)可得,图4.2-5 例4.2-2用图(二),(2) 根据换路定律,有 iL(0+)=iL(0
13、)=1 A uC(0+)=uC(0)=5 V,(3) 画出换路后瞬间t=0+时的等效电路,计算待求的各初始值。根据置换定理,用一个电流等于iL(0+)=1 A的理想电流源代替电感元件,用一个电压等于uC(0+)=5 V的理想电压源代替电容元件,画出0+时刻的等效电路如图(b)所示。 在图(b)中,应用直流电阻电路分析方法可求得待求初始值为 i(0+)=0 iC(0+)=iL(0+)=1 A uL(0+)=R3iL(0+)+R2iC(0+)+uC(0+)=51+2(1)+5=2 V,4.3 一阶电路的零输入响应 当电路中含有储能元件时,描述电路的方程是微分方程。若电路仅含一个储能元件(电容或电感
14、元件),或者可用串、并联方法等效为仅含一个储能元件,则得到的电路方程是一阶线性常微分方程。我们将可用一阶常微分方程描述的电 路称为一阶电路。 1. 一阶RC电路的零输入响应 图4.3-1所示为一阶RC电路。,图4.3-1 一阶RC电路零输入响应,设电压、电流的参考方向如图4.3-1所示,列写换路后电路的KVL方程为 RiuC=0 (4.3-1) 根据电容元件的伏安关系,由图4.3-1可知 将上式代入式(4.3-1)中,经整理得,(4.3-2),由高等数学的相关知识可知, 一阶齐次微分方程式(4.3-2)的通解形式为 式中,A为特定的积分常数,由电路的初始条件确定。将uC(0+)=U0代入式(4
15、.3-3),得 uC(0+)=A=U0 从而解得在给定初始条件下,电容电压的零输入响应为,(4.3-4),(4.3-3),放电电流 画出电容电压uC和电流i随时间变化的曲线,如图4.3-2所示。,图4.3-2 一阶RC放电电路中电容电压和电流的变化规律,(4.3-5),由此可见,RC电路的零输入响应都按同样的指数规律变化,由初始值开始逐渐单调衰减至零,这一过程即为过渡过程或暂态过程。电压、电流衰减的快慢取决于指数衰减因子 ,即取决于电路参数R和C的乘积。这个乘积是一个常量,具有时间的量纲,称为RC电路的时间常数,用来表示,即 =RC (4.3-6),2. 一阶RL电路的零输入响应 图4.3-3
16、(a)所示为一阶RL电路。,图4.3-3 一阶RL电路的零输入响应,对图(b)所示的电路列KVL方程 uL+RiL=0 将电感元件的伏安关系式 代入上式,整理得 这是一个一阶常系数齐次微分方程,其特征方程为,(4.3-7),解出特征根 于是得一阶齐次微分方程式(4.3-7)的通解形式为 由初始条件确定待定积分常数A。将iL(0+)=I0代入式(4.3-8),得 iL(0+)=A=I0 从而解得电感电流的零输入响应为,(4.3-8),电感电压 式中, ,为RL电路的时间常数,与RC电路中的时间常数有相同的意义。画出电感电流iL和电感电压uL随时间变化的曲线,如图4.3-4所示。,(4.3-10)
17、,(4.3-9),图4.3-4 一阶RL零输入电路中电感电流和电压的变化规律,如果用yzi(t)表示零输入响应,yzi(0+)表示其初始值,则一阶电路的零输入响应可表示为如下的一般形式 【例4.3-1】 电路如图4.3-5(a)所示,换路前t0时电路已处于稳态,t=0时开关S开启。试求: (1) t0时的uC(t)和i(t); (2) 电容的初始储能和电阻消耗的总能量。,(4.3-11),图4.3-5 例4.3-1用图,4.4 一阶电路的零状态响应 如果动态电路中的储能元件的初始储能为零,即电容C的初始电压和电感L中的初始电流均为零,则称此电路为零状态电路。电路在零状态下,仅由施加于电路的输入
18、激励所引起的响应称为零状态响应(zero state response)。本节将讨论在直流电源激励下一阶电路的零状态响应。 1. 一阶RC电路的零状态响应 设直流一阶RC电路如图4.4-1所示,在开关S闭合前即t0时电路已处于稳态,且电容电压 uC(0)=0(零状态)。,图4.4-1 直流一阶RC电路零状态响应,对图4.4-1,列出换路后的KVL方程为 Ri+uC=Us 将电容元件的伏安关系 代入上式,并整理得 这是一个一阶常系数线性非齐次微分方程。方程的解由两个分量组成:齐次微分方程的通解uCh和非齐次微分方程的特解uCp,即 uC=uCh+uCp (4.4-2),(4.4-1),再求非齐次
19、微分方程的特解uCp。由微分方程的数学知识可知,特解具有与输入激励相同的函数形式。当激励为直流时,特解uCp为一常量。令 uCp=Q 把它代入式(4.4-1),可得 Q=Us 故特解为 uCp=Us 于是一阶非齐次微分方程式(4.4-1)的完全解为,(4.4-3),将初始条件uC(0+)=0代入上式,有 uC(0+)=A+Us=0 求得 A=Us 将A代入式(4.4-3),得零初始状态时电容电压的完全解,即零状态解为 由电容元件的VAR,求得电流,(4.4-4),画出电容电压uC和电流随时间i变化的曲线,如图4.4-2所示。,图4.4-2 直流一阶RL零状态电路中电容电压和电流的变化规律,2.
20、 一阶RL电路的零状态响应 设直流一阶RL电路如图4.4-3所示,开关S闭合前即t0时,电路已处于稳态,电感电流iL(0)=0(零状态)。,图4.4-3 直流一阶RL电路零状态响应,对图4.4-3,列出换路后的KVL方程为 RiL+uL=Us 将电感元件的伏安关系 代入上式,整理得,(4.4-5),非齐次微分方程的特解iLp具有与输入激励相同的函数形式。在直流激励下,令iLp=Q,将其代入式(4.4-5),解得 故特解为 于是一阶非齐次微分方程的全解为,(4.4-6),将初始条件iL(0+)=iL(0)=0代入上式,确定待定积分常数A,有 将A代入式(4.4-6),得电感电流iL的零状态解为
21、由电感元件的VAR,求得电感电压 画出电感电流iL和电压uL随时间变化的曲线,如图4.4-4所示。,(4.4-7),图4.4-4 直流一阶RL零状态电路中电感电流和电压的变化规律,由以上分析可见,在直流激励下,一阶RC电路和一阶RL电路的零状态响应的物理过程是换路后电路中动态元件的储能从无到有逐渐增长的过程。因此,电容电压或电感电流都是从零值(零初始状态)开始按指数规律上升至稳态值(稳定状态),时间常数t与零输入响应时相同。由式(4.4-4)和式(4.4-7)可写出电容电压和电感电流的零状态响应的一般形式,(4.4-8),【例4.4-1】 电路如图4.4-5(a)所示,换路前t0时电路已处于稳
22、态,t=0时开关S闭合。已知Us=4 V,R1=2.5 W,R2=10 W,L=0.2 H。试求换路后t0时的iL、uL、uR1和iR2。,图4.4-5 例4.4-1用图,解 换路前t0时,开关S未闭合,iL(0)=0,电路处于零状态。在t=0时,开关S闭合,换路后的电路如图4.4-5(b)所示,直流电压源Us接入电路,因此所求响应均为零状态响应。,4.5 一阶电路的全响应 前面两节我们分别讨论了一阶电路的零输入响应和零状态响应。本节将讨论在外加输入激励和动态元件初始储能共同作用下电路的响应,称为一阶电路的全响应(complete response)。仍以直流一阶RC电路为例, 电路如图4.5
23、-1所示,电容电压的初始值uC(0)=U0,初始状态不为零,即电容元件具有初始储能。根据KVL和电路元件VAR,列写电路方程,整理得,(4.5-1),图4.5-1 直流一阶RC电路的全响应,这是一个一阶常系数线性非齐次微分方程,与前面讨论的一阶RC电路零状态响应的微分方程式(4.4-1)相同,因此求解过程也相同,其完全解可表示为 将初始条件uC(0+)=U0代入上式,确定待定积分常数A,有 uC(0+)=A+Us=U0 求得 A=U0Us,(4.5-2),将A代入式(4.5-2),得电容电压的全响应为 把式(4.5-3)改写为 相应的随时间变化的曲线如图4.5-2所示。,(4.5-3),(4.
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