「数学分析选论」习题全解_模拟试题及答案知识点复习考点归纳总结参考.doc
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1、 数学分析续论 模拟试题及答案 电大考试电大小抄电大复习资料 一、单项选择题( )56 ()设 为单调数列,若存在一收敛子列 ,这时有 najna ; 不一定收敛; 不一定有界;jnjalimli na 当且仅当预先假设了 为有界数列时,才有成立n ()设 在 R 上为一连续函数,则有 )(xf 当 为开区间时 必为开区间; 当 为闭区间时 必为闭区间;I)(If )(IfI 当 为开区间时 必为开区间; 以上 、都不一定成立)(IfI ()设 在某去心邻域 内可导这时有 x)(0xU 若 存在,则 ;若 在 连续,则 A 成立;Af)(lim0 Af f0x 若 存在,则 ;以上 、都不一定
2、成xf)( xf)(lim0 立 ()设 在 上可积,则有 . )(f,ba 在 上必定连续; 在 上至多只有有限个间断点;x )(xf,ba 的间断点不能处处稠密; 在 上的连续点必定处处稠)(f )(f, 密 ()设 为一正项级数这时有 1nu 若 ,则 收敛; 若 收敛,则 ;0lim 1nu1nu1limnu C若 收敛,则 ; 以上、都不一定成立 1nu1limnu 二、计算题( )401 ()试求下列极限: ; nnn3)12(1lim xttx02limde ()设 xyufuyxarctne)(,21, 20 试求 )()(0fuf与 ()试求由曲线 ,直线 ,以及二坐标轴所围
3、曲12xy2x 边梯形的面积 S ()用条件极值方法(Lagrange 乘数法)导出从固定点 到直线),(0yx 的距离计算公式0CyBxA 三、证明题( )31 ()设 在 上都连续试证:若)(xgf与 ,ba ,)(,)(bgfgf 则必存在 ,满足 ),(0bax0x ()证明 在其定义域上为一严格凸函数,并导出不等式:xfln ,cba cba3 其中 均为正数( 提示:利用詹森不等式)cba, () 证明: 0412)(n 解 答 一、 答 (); (); (); (); () 二、 解 () ;3lim3)12(1limnnn .02limd2lilideli 22000 xxxt
4、xxtxxttx eee () 514)(,2e)( 02ufyxyxuf ()所围曲边梯形如右图所示其面积为 .21)3(01)(02xxSdd 12xyO 1 2 x ()由题意,所求距离的平方( )为 的最小值,其中2d2020)()(yx 需满足 ,故此为一条件极小值问题),(yx0CByAx 依据 Lagrange 乘数法,设 ,)()()(2020 CByAxyxL 并令 () .0,)(2CyBxALy 由方程组()可依次解出: .202020 20220200)()( ,)()(4,2 ,)(, BACyxyxdBACyxBACx 最后结果就是所求距离 的计算公式 注 上面的求
5、解过程是由()求出 后直接得到 ,而不再去算出 的值,dyx与 这是一种目标明确而又简捷的解法 三、 证 ()只需引入辅助函数: )()(xgfxh 易知 在 上连续,满足 ,故由介值性定理(或根的存在定)(xh,ba0,ba 理) ,必存在 ,满足 ,即 )(0)(0xh)()(xf () 的定义域为 ,在其上满足:xfln)(),( ,),0(,1,1l xxff 所以 为一严格凸函数根据詹森不等式,对任何正数 ,恒有)(xf cba, .)(ln)3(ln )lnl31cbacbacba 最后借助函数 的严格递增性,便证得不等式xl cba cba3 ()由于较难直接求出该级数的部分和,
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