第二节导数的运算ppt课件.ppt
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1、第二节 导数的运算,一、基本初等函数的求导公式 二、导数的四则运算法则 三、反函数的求导法则 四、复合函数的求导法则 五、隐函数的求导法则 六、由参数方程确定的函数的求导法则 七、对数求导法,一、基本的初等函数的求导公式,二、导数的四则运算法则,定理2.2 设u=u(x),v=v(x)可导,则 可导,且有,证 设自变量在x取得增量 时,函数u,v分别取得增量,于是,此定理可以推广到有限个函数相加减的情况.例如,若u,v,w分别可导,则,因此,定理2.3 设u=u(x),v=v(x)可导,则 可导,且有,证 设自变量在x取得增量 时,函数u,v分别取得增量 ,则,此定理可以推广到有限个函数相乘的
2、情况,例如u,v,w分别可导,则,由定理3.3容易得到一个重要的结论:若u可导,c为常数,则 . 即求导时,常数因子可以提出来.,定理2.4 设u=u(x),v=v(x)可导,且 ,则 可导,且有,证 设自变量在x取得增量 时,函数u,v分别取得增量 ,则,因此,例1,解,例2,解,例3 用四则运算法则证明基本初等求导公式:,解,同样可以得到另外两个基本公式:,解,例4,例5 设f(x)=(1+x)(1+2x) (1+10x),求 .,解,三、反函数的求导法则,定理2.5 设函数 在某区间内严格单调、可导,且 ,则其反函数y=f(x)在相应区间内也严格单调且可导,且有,证 因为 在某区间内严格
3、单调、连续,而严格单调连续的反函数也是严格单调连续的.,所以当 时,且x0时, y0,故,例6 证明:,证 内严格单调、连续,且,所以其反函数y=f(x)=arcsin x在(1,1)内严格单调、连续、可导,且有,同样可得,当然,如果得到了arcsin x 的导数,也可以用下面的方法得到arccos x的导数,即,例7 证明:,所以其反函数y=f(x)=arctan x在 内严格单调,连续,可导,且有,同样也可得,证 在内 严格单调、连续,且 ,,四、复合函数的求导法则,定理2.6 设u=g(x)在x可导,y=f(u)在相应点u=g(x)可导,则复合函数y=f(g(x)在x可导,且有,证 由
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