第2部分连续系统的时域分析.ppt
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1、第2章 连续系统的时域分析,2.1 引言 2.2 微分方程式的建立和求解 2.3 零输入响应和零状态响应 2.4冲激响应和阶跃响应 2.5卷积积分及其性质 2.6用算子符号表示微分方程,引言,系统的数学模型: 微分方程 方框图,连续时间系统处理连续信号用微分方程来描述: 系统的输入与输出之间通过它们时间函数及其对时间的各阶导数的线性组合联系起来,不研究系统内部其它信号的变化输入输出法、端口描述法,系统分析的任务:给定系统模型和输入信号求系统的输出响应。,求响应系统分析方法很多,系统时域分析法不通过任何变换,直接求解微分、积分方程;,时域分析方法,直观、物理概念清楚,是学习各种变换的基础;,2.
2、1 微分方程式的建立和求解,2.1.1 系统的描述 描述线性非时变连续系统的数学模型是线性常系数微分方程。,对于电系统,列写数学模型的基本依据有如下两方面:元件约束、结构约束。,1. 元件约束VAR (1)电阻R,uR(t)=RiR(t);,(2)电感L,(3)电容C,(4)互感(同、异名端连接)、理想变压器等原、副边电压、电流关系等。,2. 结构约束:KCL与KVL,例 如图所示电路,输入激励是电流源iS(t),试列出电流iL(t)及R1上电压u1(t)为输出响应变量的方程式。,解 由KVL,列出电压方程,对上式求导,考虑到,(2-1),根据KCL,有iC(t)=iS(t)-iL(t),因而
3、 u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t),(22),整理上式后,可得,(23),【例】图中所示电路,试分别列出电流i1(t)、电流i2(t)和电压uO(t)的数学模型。 【 解】,解此联立方程,最后求得,2.1.2 微分方程的经典解 如果单输入、单输出线性非时变的激励为f(t),其全响应为y(t),则描述线性非时变系统的激励f(t)与响应y(t)之间关系的是n阶常系数线性微分方程,y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1f (m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t),式中an-1,a1,a0和bm,b
4、m-1,b1,b0均为常数。,该方程的全解由齐次解和特解组成。齐次方程的解即为齐次解yh(t) 。非齐次方程的特解yp(t),y(t)=yh(t)+yp(t),1.齐次解,齐次解满足齐次微分方程,y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0,由高等数学经典理论知,该齐次微分方程的特征方程为,n+an-1n-1+a1+a0=0,(1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同(即无重根),则微分方程的齐次解,(2) 特征根有重根。若1是特征方程的重根,即有1=2=3=,而其余(n-)个根+1,+2,n都是单根,则微分方程的齐次解,(3)特征根有一对单复根。 即1
5、, 2=ajb,则微分方程的齐次解,yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt,(4)特征根有一对m重复根。即共有m 重1,2=ajb的复根,则微分方程的齐次解,【例】求微分方程y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)的齐次解。,【解】 由特征方程2+3+2=0解得 特征根1=-1, 2=-2。 因此该方程的齐次解 yh(t)=c1e-t+c2e-2t,【例】 求微分方程 y(t)+2y(t)+y(t)=f(t)的齐次解。,【解】 由特征方程2+2+1=0解得二重根1=2=-1,,因此该方程的齐次解 yh(t)=c1e-t+c2te-t,【例】求微分方程y(t)+y(t)=f(t
6、)的齐次解。,【解】由特征方程2+1=0解得特征根是一对共轭复数1,2=j,因此,该方程的齐次解 yh(t)=c1cost+c2sint,2.特解 特解的函数形式与激励函数的形式有关。表中列出了几种类型的激励函数f(t)及其所对应的特征解yp(t)。,选定特解后,将它代入到原微分方程,求出其待定系数Pi,就可得出特解。,激励函数及所对应的解,【例】若输入激励f(t)=e-t,试求微分方程y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)的特解。,将特解yp(t)代入微分方程,有,【解】 查表,因为f(t)=e-t,=-1与一个特征根1=-1相同,因此该方程的特解,3.完全解 完全解是齐次解与特解之和,
7、 如果微分方程的特征根全为单根,则微分方程的全解为,当特征根中1为重根,而其余(n-)个根均为单根时,方程的全解为,如果微分方程的特征根都是单根,则方程的完全解为,将给定的初始条件分别代入到式中及其各阶导数,可得方程组,y(0)=c1+c2+cn+yp(0) y(0)=1c1+2c2+ncn+yp(0) y(n-1)(0)=n-11c1+n-12c2+n-1ncn+y(n-1)p(0),【例】描述某线性非时变连续系统的微分方程为y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t),已知系统的初始条件是y(0)=y(0)=0,输入激励f(t)=e-tu(t),试求全响应y(t)。,【解 】 在前面已求得该
8、方程的齐次解和特解,它们分别是 yh(t)=c1e-t+c2e-2t yp(t)=te-t 因此,完全解是 y(t)=c1e-t+c2e-2t+te-t,由初始条件y(0)=y(0)=0, 有 y(0)=c1+c2=0 y(0)=-c1-2c2+1=0 解得c1=-1,c2=1,所以,全响应为 y(t)=(-e-t+e-2t+te-t)u(t),2.3起始点的跳变从0-到0+状态的转换,把响应区间确定为激励信号e(t)加入之后系统状态变化区间。,一般激励都是从t=0时刻加入,这样的系统区间定义为0+ t ,如果系统在激励信号加入之前瞬间有一组状态,系统的起始状态(0_状态),它包含未来响应的“
9、过去”信息,在激励的作用下,这组状态从t =0_到 t =0+时刻可能发生变化,在电路分析中,为确定初始条件,常常利用系统内部储能的连续性,即电容上电荷的连续性和电感中磁链的连续性。,当电路中没有冲激电流(或阶跃电压)强迫作用于电容;,当电路中没有冲激电压(或阶跃电流)强迫作用于电感;有,则换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。有,【例】如图所示,t0开关S处于1的位置而且已经达到稳态;当t=0时,S由1转向2。建立电流I(t)的微分方程并求解I(t)在t0+时的变化。,【解】(1)列出电路的微分方程,列出回路方程,列结点方程,消去变量Vc(t),消去变量IL(t),(2)求系
10、统的完全响应,完全解齐次解特解,齐次解,特征方程为:,特征根为:,齐次解为:,特解:,由于t 0+时,e(t)=4V,右端为4X4,令特解为I p(t)B,即,10B 4X4,B8/5,完全响应为,(3)确定换路后的I(0+)和di(0+)/dt,换路前,换路后的I(0+)和di(0+)/dt,换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变,(4)求解I(t)在t0+时的完全响应,由,解得,要求的完全响应为,【例】 如图所示的电路,已知L=2H,C=0.25F,R1=1,R2=5;电容上初始电压uC(0-)=3V,电感初始电流iL(0-)=1A;激励电流源i(t)是单位阶跃函数,即i(t
11、)=u(t)A。试求电感电流iL(t)的零输入响应和零状态响应。,【解】 若以iL(t)为输出变量,已知其微分方程为,将各元件数值代入得,(1)零输入响应。当输入为零时,电感电流的零输入应满足齐次方程,其特征根1=-1,2=-2,因此零输入响应,已知iLx(0+)=1A,由KVL:,再由 可得,解得 ,故而,(2)零状态响应。输入iS(t)=u(t)A。在t0时, iS(t)=1A , 代入零状态响应方程,其齐次解为cf1e-t+cf2e-2t,特解yp(t)=P0。代入原微分方程得P0=1,所以,系统的零状态响应 iLf(t)=cf1e-t+cf2e-2t+1 (t0),已知iLf(0+)=
12、0,且,有,解得,2.2.3 初始状态等效为信号源 引入奇异函数概念之后,我们进一步讨论电容和电感上电压和电流的关系。在任意时刻t,电容端口电压uC(t)与电容电流i(t)的关系是,如果选初始时刻为t=0,那么,在t0的任意时刻,上式可写为,式中u(t)为单位阶跃信号。积分下限取0-是考虑到iC(t)可能包括冲激信号(t=0时的冲激)。如果iC(t)不包含冲激信号,即iC(t)连续有界,则可不必区分0-与0+。,或写为,图三个电路对于端口电压uC(t)和电流iC(t)来说是互相等效的。,将式求导数并乘以C,得,移项,有,同理,对于电感L,也有对偶的等效公式和等效电路模型图如图所示:,冲激函数平
13、衡(匹配)法,系统的0_到0+状态有无发生跳变,决定于微分方程右端是否包含(t)及其各阶导数。,冲激平衡法是指为保持系统对应的动态方程式的恒等,方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等。根据此规则即可求得系统的冲激响应h(t)。,若微分方程右端是包含(t)及其各阶导数,说明0_到0+状态发生跳变,,【例】已知某线性非时变系统的动态方程式为,试求系统的冲激响应h(t)。,【解】 根据系统冲激响应h(t)的定义,当f(t)=(t)时,即为h(t),即原动态方程式为 由于动态方程式右侧存在冲激信号(t),为了保持动态方程式的左右平衡,等式左侧也必须含有(t)。这样冲激响应h(t)必为Aet
14、u(t)的形式。考虑到该动态方程的特征方程为,特征根1=-3,因此可设h(t)=Ae-3tu(t),式中A为待定系数,将h(t)代入原方程式有,即,解得A=2,因此,系统的冲激响应为,求导后,对含有(t)的项利用冲激信号(t)的取 样特性进行化简,即,例212 已知某线性非时变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应h(t)。 解 由原方程可得,由于动态方程式右侧存在冲激信号(t),为了保持动态方程式的左右平衡,等式左侧h(t)最高次h(t)也必须含有(t)。这样,冲激响应h(t)必含有(t)项。考虑到动态方程式的特征方程为 特征根为1=-6,因此设 式中A、B为待定系数,将h(t)代入原方程式
15、有,解得,即,因此,系统的冲激响应为,例213 已知某线性非时变系统的动态方程式为,试求系统的冲激响应h(t)。 解 由原方程可得,考虑到该动态方程的特征方程为2+3+2=0,特征根1=-1,2=-2,因此设,式中A、B为待定系数,将h(t)代入原方程式,解得A=1,B=1。因此,系统的冲激响应为,例214 RLC串联电路如图2.16所示。R=3,L=0.5H,C=0.25F,电路输入激励为单位冲激电压(t)。电路的初始状态为零,试求系统的冲激响应电容电压uC(t) 解 由KVL,由VAR,即有,图2.16 RLC串联电路,考虑到该动态方程的特征方程为,代入R、L、C元件参数值并化简得,特征根
16、 因此设,式中A、B为待定系数。则有 uC(t)=(-2Ae-2t-4Be-4t)u(t)+(A+B)(t) uC(t)=(4Ae-2t+16Be-4t)u(t)-(2A+4B)(t)+(A+B)(t) 将uC(t),uC(t)及u(t)代入原动态方程式解得 A=4,B=-4 因此,系统的冲激响应电容电压为 uC(t)=(4e-2t-4e-4t)u(t),根据系统动态方程式两边冲激信号的平衡来设定系统的冲激响应h(t)时,若等式左边求导的最高阶次为n次,等式右边求导的最高阶次为m次,且动态方程的特征方程的特征根全为单根时,则有,(246),(247),nm时,,n=m时,,在零输入条件下,等式
17、右端均为零,化为齐次方程。,y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1f (m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t),若其特征根全为单根,则其零输入响应,式中cxi为待定常数。,若系统的初始储能为零,亦即初始状态为零,仍为非齐次方程。若其特征根均为单根,则其零状态响应,式中cfi为待定常数。,系统的完全响应既可分解为零输入响应和零状态响应,也可分解为自由响应和强迫响应,它们的关系为:,式中,2.1.3 零输入响应和零状态响应,线性非时变系统的完全响应也可分解为零输入响应和零状态响应。,零输入响应是激励为零时仅由系统的初始
18、状态x(0)所引起的响应,用yx(t)表示;,零状态响应是系统的初始状态为零(即系统的初始储能为零)时,仅由输入信号所引起的响应,用yf(t)表示。,这样,线性非时变系统的全响应将是零输入响应和零状态响应之和,即,y(t)=yx(t)+yf(t),2.3 冲激响应和阶跃响应,2.3.1 冲激响应 一线性非时变系统,当其初始状态为零时,输入为单位冲激信号(t)所引起的响应称为单位冲激响应,简称冲激响应,用h(t)表示。亦即,冲激响应是激励为单位冲激信号(t)时,系统的零状态响应。其示意图如图2.15所示。,图2.15 冲激响应示意图,1.冲激平衡法 冲激平衡法是指为保持系统对应的动态方程式的恒等
19、,方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等。根据此规则即可求得系统的冲激响应h(t)。 例211已知某线性非时变系统的动态方程式为,试求系统的冲激响应h(t)。,解 根据系统冲激响应h(t)的定义,当f(t)=(t)时,即为h(t),即原动态方程式为 由于动态方程式右侧存在冲激信号(t),为了保持动态方程式的左右平衡,等式左侧也必须含有(t)。这样冲激响应h(t)必为Aetu(t)的形式。考虑到该动态方程的特征方程为,特征根1=-3,因此可设h(t)=Ae-3tu(t),式中A为待定系数,将h(t)代入原方程式有,即,解得A=2,因此,系统的冲激响应为,求导后,对含有(t)的项利用冲
20、激信号(t)的取 样特性进行化简,即,例212 已知某线性非时变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应h(t)。 解 由原方程可得,由于动态方程式右侧存在冲激信号(t),为了保持动态方程式的左右平衡,等式左侧h(t)最高次h(t)也必须含有(t)。这样,冲激响应h(t)必含有(t)项。考虑到动态方程式的特征方程为 特征根为1=-6,因此设 式中A、B为待定系数,将h(t)代入原方程式有,解得,即,因此,系统的冲激响应为,例213 已知某线性非时变系统的动态方程式为,试求系统的冲激响应h(t)。 解 由原方程可得,考虑到该动态方程的特征方程为2+3+2=0,特征根1=-1,2=-2,因此设,式中
21、A、B为待定系数,将h(t)代入原方程式,解得A=1,B=1。因此,系统的冲激响应为,例214 RLC串联电路如图2.16所示。R=3,L=0.5H,C=0.25F,电路输入激励为单位冲激电压(t)。电路的初始状态为零,试求系统的冲激响应电容电压uC(t) 解 由KVL,由VAR,即有,图2.16 RLC串联电路,考虑到该动态方程的特征方程为,代入R、L、C元件参数值并化简得,特征根 因此设,式中A、B为待定系数。则有 uC(t)=(-2Ae-2t-4Be-4t)u(t)+(A+B)(t) uC(t)=(4Ae-2t+16Be-4t)u(t)-(2A+4B)(t)+(A+B)(t) 将uC(t
22、),uC(t)及u(t)代入原动态方程式解得 A=4,B=-4 因此,系统的冲激响应电容电压为 uC(t)=(4e-2t-4e-4t)u(t),根据系统动态方程式两边冲激信号的平衡来设定系统的冲激响应h(t)时,若等式左边求导的最高阶次为n次,等式右边求导的最高阶次为m次,且动态方程的特征方程的特征根全为单根时,则有,(246),(247),nm时,,n=m时,,2.等效初始条件法 系统冲激响应h(t)的求解还有另一种方法,称为等效初始条件法。冲激响应h(t)是系统在零状态条件下,受单位冲激信号(t)激励所产生的响应,它属于零状态响应。 例215 已知某线性非时变(LTI)系统的动态方程式为
23、y(t)+3y(t)=2f(t)t0 试求系统的冲激响应h(t)。 解 冲激响应h(t)满足动态方程式 h(t)+3h(t)=2(t)t0,由于动态方程式右边最高次为(t),故方程左边的最高次h(t)中必含有(t),故设 h(t)=A(t)+Bu(t) 因而有 h(t)=Au(t) 将h(t)与h(t)分别代入原动态方程有 A(t)+Bu(t)+3Au(t)=2(t) A(t)+(B+3A)u(t)=2(t) 解得 A=2,B=-6,例216 已知某线性非时变(LTI)系统的动态方程式为 y(t)+5y(t)+4y(t)=2f(t)+3f(t)t0 试求系统的冲激响应h(t)。 解 冲激响应h
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