多媒体教学课件ppt课件.ppt
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1、多媒体教学课件,复变函数论,第五章 留数理论,第5.1节 留数及其计算 第5.2节 留数定理及其推广 第5.3节 应用于积分计算 第5.4节 辐角原理和儒歇定理,第5.1节 留数及其计算,先计算积分 这是一个广义积分,它显然是收敛的。我们应用留数定理来计算它。 考虑函数 这个函数有两个二阶极 点,在上半平面上的一 个是z=i。,作以O为心、r为半径的圆盘。考虑这一圆盘在上半平面的部分,设其边界为 。取r1,那么z=i包含在 的内区域内。沿 取f(z)的积分,则有,现在估计积分 ,有,因此,令,,就得到,上式右端是与r无关的常数,也就是说计算实积分最后剩下的来计算环绕孤立起点z=i的积分之值,将
2、右端积分乘 称为在z=i处的留数(即残留之意),注解:以上是一个具有普遍意义的 事实,即计算实或复积分 往往化成计算环绕某些孤立起点处的积分,即计算留数。,1.留数的概念,设函数f(z)在点z0解析。作圆,等于零。,设函数f(z)在区域0| z-z0|R内解析。选取r,使0rR,并且作圆,那么如果f(z)在z0也解析,则上面的积分也等于零;,使f(z)在以它为边界的闭圆盘上解析,那么根据柯西定理,积分,定义5.1 如果z0是f(z)的孤立奇点,则上述积分就不一定等于零;这时,我们把积分,留数的概念,定义为f(z)在孤立奇点z0的留数,记作,这里积分是沿着C按反时针方向取的。,注解,注解1、我们
3、定义的留数Res(f, z0) 与圆C的半径 r无关:事实上,在0| z-z0|R内,f(z)有洛朗展式:,而且这一展式在C上一致收敛。逐项积分,我们有,因此,,注解,注解2、即f(z)在孤立奇点z0的留数等于其洛朗级数展式中,的系数。,注解3、如果z0是f(z)的可去奇点,那么,留数的求法,方法一:前述 方法二:设z0为f的一阶极点,则 方法三: 其中P(z)及Q(z)在 解析,且,留数的求法,方法四:。设z0是f(z)的一个m阶极点(m1)。则在 z0附近有 其中, 在 z0解析,且 ,则 因此,2.在无穷远点的留数 设函数 f (z)在圆环域 R|z|内解析, C为圆环域内绕原点的任何一
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