可靠性工程与风险评估-模糊集理论.ppt
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1、第七章 模糊集理论在可靠性工程中的应用,一、随机性与模糊性,现实生活和工程中的现象,存在着许多不确定性,这些不确定主要表现为两种类型:随机性与模糊性。 随机性:是指事件本身有明确含义,只是由于发生的条件不充分,使得在条件与事件之间不能出现确定的因果关系。换言之,结果明确,但是这样的结果是否发生不能确定,在某种程度上说出现与否是不可预测的。数理统计就是描述了涉及一个事件是否发生的不确定性,数理统计方法能较好反映了“一因多果”的随机性。随机性也可称为偶然性,它是用随机模型来描述。在可靠性分析中它是用符合某种分布的随机量来模拟的。,模糊性:是指事物概念本身是模糊的,即任一个对象是否符合这个概念难以确
2、定。也就是说概念内涵模糊,边界不清楚,在质上没有确切的含义,在量上没有明确的界限。 对于随机性是采用概率论方法来研究其不确定性。 对于模糊性就必须用模糊集理论来研究对象本身不明确的不确定性及产生的不明确性。,二、模糊集的概念及其运算 1.模糊集的概念 Zadeh(扎德)首先引入模糊集的概念,其基本思想是把普通集合中的绝对隶属关系灵活化,使元素对集合的隶属度从只能取0,1中的值扩充为可以取区间 0,1中的任一数值,具体地说,我们有以下定义:,定义:论域x上的一个模糊子集A完全被一个映射,所决定,并称 为A的隶属函数。,称为x对于A的隶属度。模糊子集A也称模糊集。,隶属度的概念:就是从0,1闭区间
3、内给模糊子集,模糊集通常用下面带波浪号的大写字母来表示,例,如 等。,中每一个元素 一个相应,的数字 用以表示 对于模糊子集 的隶属程度。,对于有限论域中的模糊子集(模糊集)可表示为:,若 ,则X的模糊子集A可表示为:,式中,表示 属于A的隶属度;X为论域;,“/”下面记的是X中的各元素,上面记的是元素隶 属度。 “+”表示X中的各元素和它的隶属度的总括。 “A”是普通集合(亦称为论域)中的一个模糊子集。,对于一般的论域(包括有限论域和无限论域),扎德给出另一种记法:,式中是一种记号不是积分,它们表示X中各个元素及其隶属度的总括。 由此可见,原先, 是否隶属于集合是模糊不清的,但是通过隶属度将
4、原来具有的不确定性(即模糊性)在形式上转化为确定性,即确定其隶属于A的程度,采用不同确定的隶属度来表达模糊性。,2.模糊集的运算,下面将普通集合的并,交,余运算推广到模糊集中。,隶属度值为 对于所有 。有,设A,B为论域X上的一个模糊子集,它们分别具有,以下关系:,(2)A是B的一个余集,,(1),(3)空模糊集定义为:,(4)对于X中每一个元素x,都有,则说A包含B,记作 ,反之,称为B包含A,,如果 且 ,则说A与B相等,记作A=B。,(5)设A,B是论域X上的两个模糊子集,规定A与B 的并 集用 表示,其隶属函数为 ,并且对于X,的每一元素x有隶属度为,(6)A、B两个模糊子集的交集用
5、表示,其隶属,函数 为并有,或,式中 表示最小。 称为扎德算子。,三、模糊关系与模糊矩阵,1.二元模糊关系,模糊关系的应用是很广泛和重要的,首先看普通二元 关系,设X,Y是任意两个普通集合,令,称集合 为X,Y的笛卡尔求积,简称卡氏积。,由此可见,卡氏积 是普通集合X和Y的元素之间,的无约束搭配。,例2.1 设,所以 一般,如果对集合X,Y的元素之间的搭配施加某种限制,这时构成的集合是 的一个子集具有某种特殊的 性质,其性质的内容。包含于搭配的限制之中,它反映X,Y是两个非空集合, 的子集R称为X到Y的一个二元关系,记作:,当 时,称x与y元素有关系R,记作 ;,当 时,称x与y元素没有关系R
6、,记作 。,这里仅讨论二元关系,简称之为关系。,类似的,将X,Y上的模糊关系定义为卡氏积 的一个模糊子集,假设A与B分别为X,Y论域上的一个模糊关系R,其中 ,R的隶属度为:,同样的定义二元模糊关系:,设X,Y是两个非空集合, 的一个模糊子集R称,为X到Y的一个二元模糊关系,记作:,模糊关系R由其隶属函数 所完全决定。,若设X,Y分别为有限集合,则 卡氏积中模糊关系R可用以下 矩阵表示:,这种表示模糊关系的矩阵成为模糊矩阵,由于隶属函数 取0,1中的值,所以,模糊矩阵的分量也取0, 1中的值。,采用合成运算进行相互组合可以得到不同积空间中的模糊关系,已研究了不同的合成型式,而max-min合成
7、已成空间最普遍的一种型式。,定义:设X,Y,Z是三个论域, 是X到Y的一个模糊关系, 是Y到Z的一个模糊关系,则 的最大-最小合成记为 , 指的是X到Z的一个模糊关系,它具有隶属函数为:,当R是 的模糊关系时,记,2.模糊矩阵,模糊关系也可用矩阵来定义,模糊矩阵是应用Boolen,矩阵发展而来的,并采用扎德算子来进行计算的。,令 是两个模糊矩阵,其中,则:,(1),(2),(3),(4),(5),四、隶属函数的确定,模糊集理论中的主要隶属函数,它作为结果将模糊,性在形式上转化为确定性,它是在数量上表示之隶属于一个集合中的程度,在任何情况下它可以被主观的确定,因此在一定程度上具有主观性和经验性。
8、隶属函数在模糊集理论中的地位是十分重要的。其地位不亚于概率分布函数的理论与应用研究工作那样成熟。以下仅介绍几种典型的隶属函数形式:,1.正态型,2.戒上型(偏小型),(1)降半Cauchy型,式中,(2)降岭形型,式中,3. 戒下型(偏大型),(1)升半Cauchy型,(2)升半正态型,式中,式中,4.降半型,(1)降半Cauchy型,式中,(2)降半正态型,式中,五、语言变量,语言变量与数值变量所不同的是它的值不是数而是自然语言。本节介绍从自然语言出发,建立自然语言的数学模型。凡是语言,都是用一定的词去表示一定的意义,语言的词与义的对应关系叫作它的语言。语义。语义的中心问题是要得出一组规则,
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