平面问题的直角坐标解答.ppt
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1、第三章 平面问题的直角坐标解答,要点, 用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。,3-1 多项式解答,3-2 位移分量的求出,3-3 简支梁受均布载荷,3-4 楔形体受重力和液体压力,3-5 级数式解答,3-6 简支梁受任意横向载荷,主 要 内 容,3-1 多项式解答,适用性:,由一些直线边界构成的弹性体。,目的:,考察一些简单多项式函数作为应力函数(x,y) ,能解决什么样的力学问题。,逆解法,其中: a、b、c 为待定系数。,检验(x,y) 是否满足双调和方程:,显然(x,y) 满足双调和方程,因而可作为应力函数。,(1),1. 一次多项式,(2),(3),对应的应力分量:,若体力:X =
2、 Y =0,则有:,结论1:,(1),(2),一次多项式对应于无体力和无应力状态;,在该函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式,对应力无影响。,2. 二次多项式,(1),其中: a、b、c 为待定系数。,(假定:X =Y = 0 ; a 0 , b 0, c 0),检验(x,y) 是否满足双调和方程,显然有,(2),(可作为应力函数 ),(3),由式(2-26)计算应力分量:,2c,2c,2a,2a,结论2:,二次多项式对应于均匀应力分布。,试求图示板的应力函数。,例:,3. 三次多项式,(1),其中: a、b、c 、d 为待定系数。,检验(x,y) 是否满足双调和方程,显然有,(2),(可
3、作为应力函数 ),(假定:X =Y = 0),(3),由式(2-26)计算应力分量:,结论3:,三次多项式对应于线性应力分布。,讨论:,可算得:,图示梁对应的边界条件:,可见:, 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。,常数 d 与弯矩 M 的关系:,(1),由梁端部的边界条件:,(2),可见:此结果与材力中结果相同,,说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。,说明:,(1),组成梁端力偶 M 的面力须线性分布,且中心处为零,结果才是精确的。,(2),若按其它形式分布,如:,则此结果不精确,有误差;,但按圣维南原理,仅在两端误差较大,离端部较远处误差较小。,(3),当 l 远大于 h 时,误差较
4、小;反之误差较大。,4. 四次多项式,(1),检验(x,y) 是否满足双调和方程,(2),代入:,得,可见,对于函数:,其待定系数,须满足下述关系才能作为应函数:,(3),应力分量:, 应力分量为 x、y 的二次函数。,(4),特例:,(须满足:a + e =0),总结:,(多项式应力函数 的性质),(1),多项式次数 n 4 时,则系数可以任意选取,总可满足 。,多项式次数 n 4 时,则系数须满足一定条件,才能满足 。,多项式次数 n 越高,则系数间需满足的条件越多。,(2),一次多项式,对应于无体力和无应力状态;任意应力函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式,对应力无影响。,二次多项式
5、,对应均匀应力状态,即全部应力为常量;三次多项式,对应于线性分布应力。,(3),(4),用多项式构造应力函数(x,y) 的方法 逆解法(只能解决简单直线应力边界问题)。,按应力求解平面问题,其基本未知量为: ,本节说明如何由 求出形变分量、位移分量?,问题:,3-2 位移分量的求出,以纯弯曲梁为例,说明如何由 求出形变分量、位移分量?,1. 形变分量与位移分量,由前节可知,其应力分量为:,平面应力情况下的物理方程:,(1)形变分量,(a),将式(a)代入得:,(b),(2)位移分量,将式(b)代入几何方程得:,(c),将式(c)前两式积分,得:,(d),将式 (d) 代入 (c) 中第三式,得
6、:,整理得:,(仅为 x 的函数),(仅为 y 的函数),要使上式成立,须有,(e),式中:为常数。,积分上式,得,将上式代入式(d),得,(f),(1),(f),讨论:,式中:u0、v0、 由位移边界条件确定。,当 x = x0 =常数, u 关于铅垂方向的变化率,即铅垂方向线段的转角。,说明: 同一截面上的各铅垂线段转角相同。,横截面保持平面, 材力中“平面保持平面”的假设成立。,(2),说明:在微小位移下,梁纵向纤维的曲率相同。即, 材料力学中挠曲线微分方程,2. 位移边界条件的利用,(1)两端简支,其边界条件:,将其代入(f)式,有,将其代回(f)式,有,(3-3),梁的挠曲线方程:,
7、 与材力中结果相同,(2)悬臂梁,边界条件,由式(f)可知,此边界条件无法满足。,边界条件改写为:,(中点不动),(轴线在端部不转动),代入式(f),有,可求得:,(3-4),挠曲线方程:,与材料力学中结果相同,说明:,(1),求位移的过程:,(a)将应力分量代入物理方程,(b)再将应变分量代入几何方程,(c)再利用位移边界条件,确定常数。,(2),若为平面应变问题,则将材料常数E、作相应替换。,(3),若取固定端边界条件为:,(中点不动),得到:,求得:,此结果与前面情形相同。,(为什么?),(1),(2-27),(2),然后将 代入式(2-26)求出应力分量:,先由方程(2-27)求出应力
8、函数:,(2-26),(3),再让 满足应力边界条件和位移单值条件(多连体问题)。,按应力求解平面问题的基本步骤:,按应力求解平面问题的方法:,逆解法,(1),根据问题的条件,(几何形状、受力特点、边界条件等),,假设各种满足相容方程(2-27)的(x,y) 的形式;,(2),然后利用应力分量计算式(2-26),求出 (具有待定系数);,(3),再利用应力边界条件式(2-18),来考察这些应力函数(x,y) 对应什么样的边界面力问题,从而得知所设应力函数(x,y) 可以求解什么问题。,(1),根据问题的条件,(几何形状、受力特点、边界条件等),,假设部分应力分量 的某种函数形式 ;,(2),根
9、据 与应力函数(x,y)的关系及 ,求出(x,y) 的形式;,(3),最后利用式(2-26)计算出 并让其满足边界条件和位移单值条件。, 半逆解法的数学基础:数理方程中分离变量法。,半逆解法,位移分量求解:,(1),将已求得的应力分量,(2),(3),代入物理方程,求得应变分量,将应变分量,代入几何方程,并积分求得位移分量,表达式;,由位移边界条件确定表达式中常数,得最终结果。,3-3 简支梁受均布载荷,要点, 用半逆解法求解梁、长板类平面问题。,1. 应力函数的确定,(1),分析:, 主要由弯矩引起;, 主要由剪力引起;,由 q 引起(挤压应力)。,又 q =常数,图示坐标系和几何对称, 不
10、随 x 变化。,推得:,(2),由应力分量表达式确定应力函数 的形式:,积分得:,(a),(b), 任意的待定函数,(3),由 确定:,代入相容方程:,方程的特点:,关于 x 的二次方程,且要求 l x l 内方程均成立。,由“高等代数”理论,须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即:,对前两个方程积分:,(c),此处略去了f1(y)中的常数项,对第三个方程得:,积分得:,(d),(c),(d),将(c) (d) 代入 (b) ,有,(e),此处略去了f2(y)中的一次项和常数项,式中含有9个待定常数。,(e),2. 应力分量的确定,(f),(g),(h),3. 对称条件与边界条件的应用,
11、(1)对称条件的应用:,由 q 对称、几何对称:, x 的偶函数, x 的奇函数,由此得:,要使上式对任意的 y 成立,须有:,(2)边界条件的应用:,(a) 上下边界(主要边界):,由此解得:,代入应力公式,( i ),( j ),( k ),(b) 左右边界(次要边界):,(由于对称,只考虑右边界即可。), 难以满足,需借助于圣维南原理。,静力等效条件:,轴力 N = 0;,弯矩 M = 0;,剪力 Q = ql;,可见,这一条件自动满足。,(p),截面上的应力分布:,4. 与材料力学结果比较,材力中几个参数:,截面宽:b=1 ,截面惯矩:,静矩:,弯矩:,剪力:,将其代入式 ( p )
12、,有,(3-6),比较,得:,(1),第一项与材力结果相同,为主要项。,第二项为修正项。当 h / l1,该项误差很小,可略;当 h / l较大时,须修正。,(2),为梁各层纤维间的挤压应力,材力中不考虑。,(3),与材力中相同。,注意:,按式(3-6),梁的左右边界存在水平面力:,说明式(3-6)在两端不适用。,解题步骤小结:,(1),(2),(3),根据问题的条件:几何特点、受力特点、约束特点(面力分布规律、对称性等),估计某个应力分量( )的变化形式。,由 与应力函数 的关系式(2-26),求得应力函数 的具体形式(具有待定函数)。,(4),(5),将具有待定函数的应力函数 代入相容方程
13、: 确定 中的待定函数形式。,由 与应力函数 的关系式(2-26),求得应力分量 。,由边界条件确定 中的待定常数。,用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤:,应力函数法求解平面问题的基本步骤:,求解方法:, 半逆解法的数学基础:数理方程中分离变量法。,位移分量求解:,1. 应力函数的确定,推得:, 任意的待定函数,简支梁受均布载荷,(e),2. 应力分量的确定,3. 由边界条件确定待定常数,附:,应力函数确定的“材料力学方法”,要点:,利用材料力学中应力与梁内力的关系,假设某个应力分量的函数形式。,适用性:,直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆端集中力偶等。,应力函数
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