循环码I.ppt
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1、循 环 码 (I),内容,循环码的定义 循环码的生成多项式和校验多项式 循环码的生成矩阵和校验矩阵 循环码的系统码形式 特殊的循环码,定义,设CH是一个n.k线性分组码,C1是其中的一个码字,若C1的左(右)循环移位得到的n维向量也是CH中的一个码字,则称CH是循环码。 (alternative)设 是n维空间的一个k维子空间,若对任一 恒有 则称Vn,k为循环子空间或循环码,Example,Example: 7, 4Hamming码的H矩阵 其16个码字: 1000110, 0100011, 1010001, 1101000, 0110100, 0011010, 0001101; 10010
2、11, 1100101, 1110010, 0111001, 1011100, 0101110, 0010111; 1111111; 0000000,问题一 如何寻找k维循环子空间? 如何设计n, k循环码? 利用多项式和有限域的概念,循环码的构造,GF(p)上的n维向量与GF(p)上的多项式之间有一一对应的关系 模n 次多项式F(x)的剩余类构成一个多项式剩余类环Fpx/F(x),若在环中再定义一个数乘运算,即 则模F(x)的剩余类构成一个n维线性空间,定义为剩余类结合代数。 (思考:模一个什么样的多项式 F(x) 能够循环子空间?),问题一转化为 如何从模多项式xn-1的剩余类结合代数中寻
3、找循环子空间?,循环码的构造,定理:以多项式xn-1为模的剩余类线性结合代数中,其一个子空间Vn, k为循环子空间(或循环码)的充要条件是:Vn,k是一个理想。 循环码是模xn-1的剩余类线性结合代数中的一个理想。反之,其中的一个理想必是循环码。 (定理 5.1.1 pp.146),问题二 如何从多项式剩余类环中 寻找理想?,多项式剩余类环中任何一个理想都是主理想主理想中的所有元素可由某一个元素的倍式构成 在主理想的所有元素中,至少可找到一个次数最低的首一多项式g(x),即生成多项式,循环码的构造,问题三 如何寻找生成多项式g(x)?,循环码,模多项式xn-1剩余类线性结合代数中的理想,生成多
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