主讲教师高彦伟课件.ppt
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1、,主讲教师:高彦伟,总课时:,124,第一百一十二讲,常微分方程,高等数学,吉林大学远程教育,微分方程,第六章, 积分问题, 微分方程问题,推广,第6章,微分方程的基本概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1,了解微分方程及其阶、解、通解、 初始条件和特解的基本概念,第6章,引例.,一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的,解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:,(C为任意常数),由 得 C = 1,因此所求曲线方程为,由 得,切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程
2、叫做微分方程 .,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(本章内容),( n 阶显式微分方程),微分方程的基本概念,一般地 , n 阶常微分方程的形式是,的阶.,分类,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章, 使方程成为恒等式的函数.,通解, 解中所含独立的任意常数的个数与方程, 确定通解中任意常数的条件.,n 阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,通解:,特解:,微分方程的解, 不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,例1. 验证函数,是微分方程,的解,的特解 .,解:,这说明,是方程的解 .,是两个独立的
3、任意常数,利用初始条件易得:,故所求特解为,故它是方程的通解.,并求满足初始条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,主讲教师:高彦伟,总课时:,124,第一百一十三讲,常 微 分 方 程,高等数学,吉林大学远程教育,可分离变量微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2,解变量可分离方程,变量可分离的微分方程,第6章,分离变量方程的解法:,设 y (x) 是方程的解,两边积分, 得,则有恒等式,当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x) 是的解.,则有,称为方程的隐式通解, 或通积分.,同样,当F(x),= f (x)0 时,上述过程可
4、逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,例2. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,例3:,解法 1 分离变量,即,( C 0 ),解法 2,故有,积分,( C 为任意常数 ),所求通解
5、:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,内容小结,1. 微分方程的概念,微分方程;,定解条件;,2. 可分离变量方程的求解方法:,说明: 通解不一定是方程的全部解 .,有解,后者是通解 , 但不包含前一个解 .,例如, 方程,分离变量后积分;,根据定解条件定常数 .,解;,阶;,通解;,特解,y = x 及 y = C,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,练 习,1.已知一阶微分方程,(1)求通解;,(2)求它过点(1,4)的特解;,(3)求出与直线,相切的解。,解:,(1)方程变形为,将方程两端积分,有,(2)将点(1,4)代入通解,得,所求特解为,(3)解方程组,由于相切,
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