信号与系统老师精选例题.ppt
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1、信号与系统,Signals and Systems,信号与系统教研室 电子信息工程学院 2010年,例 判断下列系统是否为线性系统。,解:, 叠加特性, 均匀特性,满足均匀特性和叠加特性,该系统为线性系统。,例 判断下列系统是否为线性系统。,解:,不满足均匀特性,该系统为非线性系统。,例 判断下列系统是否为线性系统。,解:,满足均匀特性和叠加特性,该系统为线性系统。,注:微积分运算是线性运算。, 均匀特性, 叠加特性,线性系统,非线性系统,非线性系统,线性系统,零状态响应非线性,不满足可分解性,例 判断下列输出响应所对应的系统是否为线性系统?(其中y(0)为系统的初始状态,x(t)为系统的输入
2、激励,y(t)为系统的输出响应)。,2、零输入线性,系统的零输入响应必须对 所有的初始状态呈现线性特性。,解 : 分析,任意线性系统的输出响应都可分解为 零输入响应与零状态响应两部分之和,即,1、具有可分解性,3、零状态线性,系统的零状态响应必须对 所有的输入信号呈现线性特性。,因此,判断一个系统是否为线性系统,应从三个方面来判断:,(1) y(t) = sinx(t) (2) y(t) = costx(t) (3) y(t) = 4x 2(t) +3x(t) (4) y(t) = 2tx(t),例 试判断下列系统是否为时不变系统。,时不变系统,时变系统,时不变系统,时变系统,分析: 判断一个
3、系统是否为时不变系统,只需判断当 输入激励x(t)变为x(t-t0)时,相应的输出响应y(t)是否也 变为 y(t-t0)。由于系统的时不变特性只考虑系统的 零状态响应,因此在判断系统的时不变特性时,不涉 及系统的初始状态。,例 计算下列各式,解:,例 写出图示信号的时域描述式。,(1),解:,(1),(2),(2),例 已知x(t)的波形如图所示,试画出x(6-2t)的波形。,解:,例 画出下列信号及其一阶导数的波形,其中T为常数,w0= 2p/T。,解:,(1),(2),(1),例 画出下列信号及其一阶导数的波形,其中T为常数, w0= 2p/T 。,解:,(1),(2),(2),例判断下
4、列离散序列是否为周期信号.,1) x1k = cos(kp/6) 2) x2k = cos(k/6) 3)对x3(t) = cos6pt,以fs= 8 Hz抽样所得序列,W0 /2p = 1/12, 由于1/12是不可约的有理数, 故离散序列的周期N=12。,W0 /2p = 1/12p, 由于 1/12p不是有理数, 故离散序列是非周期的。,W0 /2p = 3/8,由于3/8是不可约的有理数, 故离散序列的周期N=8。,1)x1k = cos(kp/6) 2)x2k = cos(k/6) 3)对x3(t) = cos6pt,以fs= 8 Hz抽样所得序列,解:,例 画出信号x(t) 的奇、
5、偶分量,例 已知LTI系统在x1(t)激励下产生的响应为y1(t) ,试求系统在x2(t)激励下产生的响应 y2(t) 。,解:,从x1(t)和x2(t)图形可以看得出,x2(t)与x1(t)存在以下关系,根据线性时不变性质,y2(t)与y1(t)之间也存在同样的关系,例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号x(t)=e-t u(t),求系统的完全响应y(t)。,特征根为,齐次解yh(t),解: (1) 求齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t),特征方程为,t0,例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
6、 初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号x(t)=e-t u(t),求系统的完全响应y(t)。,解: (2) 求非齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = x(t)的特解yp(t),由输入x(t)的形式,设方程的特解为,yp(t) = Ce-t,将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。,t0,例 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 初始条件y(0)=1, y (0)=2, 输入信号x(t)=e-t u(t),求系统的完全响应y(t)。,解: (3) 求方程的全解,解得 A=5/2,B= -11/6,解: 系统的特征方程为,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y
7、“ (t)+5y (t) +6y (t) =4x(t), t0 系统的初始状态为y(0-) = 1,y (0-) = 3,求系统的零输入响应yzi(t)。,系统的特征根为,y(0-)=yzi(0-)=K1+K2=1 y (0-)= yzi(0-)= - 2K1-3K2 =3,解得 K1= 6,K2= -5,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y“ (t)+4y (t) +4y (t) = 2x (t )+3x(t), t0 系统的初始状态为y(0-) = 2,y(0-) = -1,求系统的零输入响应yzi(t)。,解: 系统的特征方程为,系统的特征根为,(两相等实根),y(0-)=yzi
8、(0-)=K1=2 y(0-)= yzi(0-)= -2K1+K2 = - 1,解得 K1 = 2, K2= 3,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y“ (t)+2y (t) +5y (t) = 4x (t )+3x(t), t0 系统的初始状态为y(0-) = 1,y(0-) = 3,求系统的零输入响应yzi(t)。,解: 系统的特征方程为,系统的特征根为,y(0-)=yzi(0-)=K1=1 y (0-)= yzi(0-)= -K1+2K2 =3,解得 K1= 1,K2= 2,例 已知某LTI系统的动态方程式为: y(t) + 3y(t) = 2x(t) 系统的冲激响应 h(t)
9、= 2e-3t u(t), x(t) = 3u(t), 试求系统的零状态响应yzs(t)。,解:,解: 当x(t) = d (t)时,y(t) = h(t),即,动态方程式的特征根s = -3, 且nm, 故h(t)的形式为,解得A=2,例1 已知某线性时不变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应。,例2 已知某线性时不变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应。,解: 当x(t) = d (t)时,y(t) = h(t),即,动态方程式的特征根s = -6, 且n=m, 故h(t)的形式为,解得A= -16, B =3,例3 求例1所述系统的单位阶跃响应 g(t)。 例1 已知某线性时不变系统
10、的动态方程式为,例1 系统的冲激响应为,解:,利用冲激响应与阶跃响应的关系,可得,h(t) = 2e-3t u(t),解:将信号的自变量由t 改为,例,将h()翻转得h(-),将h(-)平移t。当t 0时, x() h(t -)=0,故x(t)*h(t)=0,当t 0时,,解:,例,由此可得,例 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。,a) - t -1,b) -1 t 0,y (t) = 0,解:,c) 0 t 1,d) t 1,y (t) = 0,例 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。,c) 0 t 1,d) t 1,y (t) = 0,a) - t -1,b) -
11、1 t 0,y (t) = 0,例 计算 y(t) = p1(t) * p1(t)。,解:,例 利用平移特性及u(t) * u(t)= r(t) ,计算y(t) = x(t) * h(t)。,y(t) = x(t) * h(t) = u(t) - u(t-1) * u(t) - u(t-2) ,=u(t)*u(t) - u(t-1)*u(t) - u(t)*u(t-2) + u(t-1)*u(t-2),= r(t) r(t -1) - r(t-2) + r(t-3),解:,例 利用等效特性,计算y(t) = x(t) * h(t)。,x (t) = d (t) - d (t-1),x (t)
12、* h(t)= h(t) - h(t-1),解:,例 计算下列卷积积分。,(1),(2),(3),(1),解:,例 计算下列卷积积分。,(1),(2),(3),(2),利用卷积的平移性质和题(1)的结论,(3),例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2 = x k 初始条件y0 = 0,y1 = -1,输入信号 xk = 2k uk,求系统的完全响应yk。,特征根为,齐次解yhk,解 : (1) 求齐次方程yk-5yk-1+6yk-2 = 0的齐次解yhk,特征方程为,解 :,(2) 求非齐次方程yk-5yk-1+6yk-2 =xk的特解ypk,由输入xk的形
13、式,设方程的特解为,将特解带入原差分方程即可求得常数A= -2。,例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2 = xk 初始条件y0 = 0,y1 = -1,输入信号 xk = 2k uk,求系统的完全响应yk。,解 :,(3) 求方程的全解,即系统的完全响应yk,解得 C1= -1,C2= 1,例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2 = xk 初始条件y0 = 0,y1 = -1,输入信号 xk = 2k uk,求系统的完全响应yk。,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: yk+3yk-1+2yk-2=xk 系统的初始状
14、态为y-1=0, y-2= 1/2,求系统的零输入响应yzik 。,解: 系统的特征方程为,系统的特征根为,解得 C1=1,C2= -2,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: yk+4yk-1+4yk-2=xk 系统的初始状态为y-1=0, y-2= -1,求系统的零输入响应yzik 。,解: 系统的特征方程为,系统的特征根为,(两相等实根),解得 C1 = 4, C2= 4,例 已知某线性时不变系统的动态方程式为: yk-0.5yk-1+yk-2 -0.5yk-3 =xk 系统的初始状态为y-1 = 2,y-2= -1,y-3= 8, 求系统的零输入响应yzik。,解: 系统的特征方程为
15、,系统的特征根为,解得 C1= 1,C2= 0 ,C3= 5,例 若描述某离散系统的差分方程为:,已知 ,求系统的零状态响应yzs k。,解:,例1 描述某离散因果LTI系统的差分方程为 求系统的单位脉冲响应hk。,解:hk满足方程,1) 求等效初始条件,对于因果系统有h-1 = h-2 = 0,代入上面方程可推出,注意:选择初始条件的基本原则是必须将 dk的作用体现在初始条件中。,可以选择h0和h1 或h-1和h0作为初始条件,解:hk满足方程,2) 求差分方程的齐次解,特征方程为,特征根为,齐次解的表达式为,代入初始条件,有,解得 C1=-1,C2= 2,例1 描述某离散因果LTI系统的差
16、分方程为 求系统的单位脉冲响应hk。,例2 求例1所述系统的单位阶跃响应 gk。 例1 若描述某离散时间LTI系统的差分方程为,例1 所述系统的单位脉冲响应为,解:,利用hk与gk 的关系,可得,hk = -(-1)k + 2(-2)k uk,解:,例3 计算 与 的卷积和。,利用卷积和的起点坐标等于待卷积两序列起点之和,确定卷积和的原点。,解:,例4 计算 与 的卷积和。,解:,例5 计算 与 的卷积和。,利用位移特性,例1 求图示系统的冲激响应,其中h1(t) = e-3t u(t),h2(t) =(t -1) ,h3(t) = u(t)。,解:,子系统h1(t) 与h2(t) 级联, h
17、3(t)支路与h1(t) h2(t) 级联支路并联。,例2 求图示系统的单位脉冲响应,其中h1k =2kuk, h2k = dk-1 ,h3k = 3kuk,h4k = uk。,解:,子系统h2k与h3k 级联,h1k支路、全通支路与h2k、h3k 级联支路并联,再与h4k级联。,全通支路满足,全通离散系统的单位脉冲响应为单位脉冲序列d k,例5 已知一因果LTI连续系统的冲激响应为h(t) = eat u(t),判断该系统是否稳定。,解: 由于,当 a0 时,,系统稳定,当 a0 时,,系统不稳定,综合例题 1. 已知某连续因果LTI系统的微分方程为 求: (1)零输入响应yzi(t) (2
18、) 冲激响应h(t)、零状态响应yzs(t) (3)完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、 强迫响应 (4)判断该系统是否稳定。,解:,(1),系统的特征方程为 s2 + 7s + 12 = 0,特征根为 s1 = -3, s2 = -4(两不等实根),零输入响应为,代入初始状态y(0-) , y(0-),解得 A = 6 B = -5,系统的零输入响应为,解:,(2),利用冲激平衡法可求出 C =1 D = -1,系统的零状态响应,综合例题 1. 已知某连续因果LTI系统的微分方程为 求: (1)零输入响应yzi(t) (2) 冲激响应h(t)、零状态响应yzs(t) (3)完全响应、暂态
19、响应、稳态响应、固有响应、 强迫响应 (4)判断该系统是否稳定。,解:,(3),系统的固有响应为,强迫响应为,系统的稳态响应为,暂态响应为,综合例题 1. 已知某连续因果LTI系统的微分方程为 求: (1)零输入响应yzi(t) (2) 冲激响应h(t)、零状态响应yzs(t) (3)完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、 强迫响应 (4)判断该系统是否稳定。,解:,(4),该系统为稳定系统,综合例题 1. 已知某连续因果LTI系统的微分方程为 求: (1)零输入响应yzi(t) (2) 冲激响应h(t)、零状态响应yzs(t) (3)完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、 强迫响应 (4
20、)判断该系统是否稳定。,解:,(1) 系统的特征方程为 r2 3r + 2 = 0,特征根为 r1 = 1, r2 = 2,零输入响应为,代入初始状态y-1 , y-2,解得 A = -1 B = 8,系统的零输入响应为,综合例题 2. 已知某离散因果LTI系统的差分方程为 求: (1)零输入响应yzik (2)单位脉冲响应hk、零状态响应 yzsk (3)完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、 强迫响应 (4)判断该系统是否稳定。,综合例题 2. 已知某离散因果LTI系统的差分方程为 求: (1)零输入响应yzik (2)单位脉冲响应hk、零状态响应 yzsk (3)完全响应、暂态响应、稳
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