2018版高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案新人教A版必修420170724114.wps
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1、2.3.12.3.1 平面向量基本定理 1.了解基底的含义,理解并掌握平面向量基本定理,会用基底表示平面内任一向量.(重点) 2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义.(难点) 3.两个向量的夹角与两条直线所成的角.(易混点) 基础初探 教材整理 1 平面向量基本定理 阅读教材 P93至 P94第六行以上内容,完成下列问题. 1.定理:如果 e e1,e e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a a,有且只有一对实数 1,2,使 a a1e e12e e2. 2.基底:不共线的向量 e e1,e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 判断(“正确的打”“,
2、错误的打 ”) (1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底.( ) (2)若 e e1,e e2是同一平面内两个不共线向量,则 1e e12e e2(1,2为实数)可以表示该 平面内所有向量.( ) (3)若 ae e1be e2ce e1de e2(a,b,c,dR R),则 ac,bd.( ) (4)基底向量可以是零向量.( ) 【解析】 (1)错误.根据基底的概念可知,平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量 的基底. (2)正确.根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量 e e1,e e2线性表示. (3)错误.当 e e1与 e e2共线时,结论不
3、一定成立. (4)基底向量是不共线的,一定是非零向量. 【答案】 (1) (2) (3) (4) 教材整理 2 两向量的夹角与垂直 阅读教材 P94第六行以下至例 1 内容,完成下列问题. 1.夹角:已知两个非零向量 a a 和 b b,作OAa a,OBb b,则AOB 叫做向量 a a 与 b b 的夹 角(如图 231 所示). 1 图 231 (1)范围:向量 a a 与 b b 的夹角的范围是 0180. (2)当 0时,a a 与 b b 同向;当 180时,a a 与 b b 反向 . 2.垂直:如果 a a 与 b b 的夹角是 90, 我们说 a a 与 b b 垂直,记作
4、a ab b. 如图 232,在ABC 中,AC,AB的夹角与CA,AB的夹角的关系为_. 图 232 【解析】 根据向量夹角定义可知向量AB,AC的夹角为BAC,而向量CA,AB夹角为 BAC.故二者互补. 【答案】 互补 小组合作型 用基底表示向量 (1)已知 AD 是ABC 的 BC 边上的中线,若ABa a,ACb b,则AD( ) 1 1 A. (a ab b) B. (a ab b) 2 2 1 1 C. (a ab b) D. (a ab b) 2 2 (2)如图 233,设点 P,Q 是线段 AB 的三等分点,若OAa a,OBb b,则OP_,OQ _.(用 a a,b b
5、表示) 2 图 233 【精彩点拨】 用基底表示平面向量,要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四 边形法则. 【自主解答】 (1)如图所示, 因为AEABAC2AD, 1 所以AD (a ab b). 2 1 (2)OPAPAO ABOA 3 1 (OBOA)OA 3 2 1 2 1 OA OB a a b b, 3 3 3 3 2 2 OQAQAO ABOA (OBOA)OA 3 3 1 2 1 2 2 OA OB a a b b. 3 3 3 3 3 2 1 1 2 【答案】 (1)D (2) a a b b a a b b 3 3 3 3 平面向量基本定理的作用以及注意点: (1)
6、根据平面向量基本定理,任何一组基底都可以表示任意向量.用基底表示向量,实质上 主要是利用三角形法则或平行四边形法则,进行向量的加减法运算. (2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形,利用已知向量表示未知向量,或找 到已知向量与未知向量的关系,用方程的观点求出未知向量. 再练一题 1.已知ABC 中,D 为 BC 的中点,E,F 为 BC 的三等分点,若ABa a,ACb b,用 a a,b b 表示 3 AD,AE,AF. 图 234 1 【解】 ADABBDAB BC 2 1 1 1 a a (b ba a) a a b b; 2 2 2 1 2 1 AEABBEAB (b ba a
7、) a a b b; 3 3 3 2 2 1 2 AFABBFAB BCa a (b ba a) a a b b. 3 3 3 3 向量的夹角问题 (1)已知向量 a a,b b,c c 满足|a|a|1 1,|b|b|2 2,c ca ab b,c ca a,则 a a,b b 的夹角等 于_. (2)若 aa0 0,bb0 0,且|a|a|b|b|a|ab|b|,求 a a 与 a ab b 的夹角. 【精彩点拨】 可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决. 【自主解答】 (1)作BCa a,CAb b,则 c ca ab bBA(如图所示), 则 a a,b b 夹角为 180
8、C. |a|a|1 1,|b|b|2 2,caca, C60, a a,b b 的夹角为 120. 【答案】 120 (2)由向量运算的几何意义知 a ab b,a ab b 是以 a a,b b 为邻边的平行四边形两条对角线. 如图,|a a|b b|a ab b|, 4 BOA60. 又OCa ab b,且在菱形 OACB 中,对角线 OC 平分BOA, a a 与 a ab b 的夹角是 30. 两向量夹角的实质与求解方法: (1)两向量夹角的实质:从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角,结合平 面几何知识加以解决. (2)求解方法:利用平移的方法使两个向量起点重合,作出两个向
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