向量组与线性方程组的解的结构.ppt
《向量组与线性方程组的解的结构.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《向量组与线性方程组的解的结构.ppt(27页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、第4章 向量组与线性方程组的解的结构,4.1向量组及其线性组合,4.2向量组的线性相关性,4.3向量组的秩,4.4 线性方程组的解的结构,即 矩阵,4.1向量组及其线性组合,4.1.1,维向量的概念,1 维向量的定义,个有次序的数,维向量,这,个数称为该向量的分量,第,个数,称为第,个分量(或第,个坐标),行向量,列向量,即 矩阵,2零向量,3负向量,4向量的相等,5向量组,同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称 为向量组,4.1.2,维向量的线性运算,1加法与数乘,为任意实 数,则,2加法与数乘的运算规律(略),注:利用向量的运算,对于方程组,则,4.1.3 向量组的线性组合与线性
2、表示,1.定义2 (1) 给定向量组,对于任何一组实数,表达式,称为向量组,的一个线性组合,,称为该线性组合的系数.,(2)给定向量组,和向量,如果存在一组实数,使,则称 是向量组的线性组合,或称 可由向量组,线性表示.,2.定理1,可由向量组,线性表示 的充分必要条件是,矩阵,的秩等于矩阵,的秩,注:设,可由向量组,唯一线性表示 的充分必要条件是,例1,试问 能否由,线性表示?若能,写出具体表示式.,解:,所以 能否由,惟一线性表示,且,例2,因为,所以,不能由,线性表示.,解:,试问 能否由,线性表示?若能,写出具体表示式.,4.1.4 向量组的等价,1.定义3 设两个向量组,若向量组 中
3、的每个向量都可由向量组 线性表示, 则称向量组 可由向量组 线性表示.,若向量组 与向量组 可以互相线性表示, 则称向量组 与向量组 等价.,2.定理2,设,向量组 与向量组 等价,向量组 可由向量组 线性表示,推论:,维向量组,4.2向量组的线性相关性,4.2.1线性相关与线性无关的定义,1.定义4 设有,若存在一组不全为,使,称向量组,线性相关,否则称为线性无关.,线性无关,则上式当且仅当,时才成立,2.由定义4可知, (1) 仅含一个零向量的向量组必线性相关; (2) 仅含一个非零向量的向量组必线性无关; (3) 任何包含零向量在内的向量组必线性相关; (4) 向量组,线性相关 齐次线性
4、方程组,有非零解,换言之,若,则,零的数,4.2.2 向量组线性相关的充分必要条件,定理3 向量组,线性相关,线性无关,向量组,例3 讨论向量组,的线性相关性.,解:,由于,从而,线性相关.,例4:已知向量组,,问,是否线性相关.,,,所以,,是线性无关.,解:,例5:设向量组,线性无关,又设,,证明向量组 也线性无关.,证明:设有,使得,因为 线性无关,故有,此时,线性方程组只有零解,也即向量组 线性无关.,定理4 向量组,线性相关,有一个向量可以由其余 个向量线性表示.,向量组中至少,注:两个向量线性相关的充要条件是它们的对应分量成比例.,4.2.3 线性相关性的判断定理,定理5 (1)若
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 向量 线性方程组 结构
链接地址:https://www.31doc.com/p-2884493.html