第2章最小二乘法.ppt
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1、1,曲线拟合的最小二乘法 1 引 言 在科学实验和生产实践中,经常要从一组实验数据 出发,寻求函数y = f(x)的一个近似表达式y=(x)(称为经验公式)。从几何上,就是希望根据给出的m个点 ,求曲线 y = f(x) 的一条近似曲线 y=(x)。因此,这是一个曲线拟合的问题。 多项式插值虽然在一定程度上解决了由函数表求函数的近似表达式问题,但用它来解决这里提出的问题,有明显缺陷。 首先,实验提供的数据通常带有测试误差。如要求近似曲线y=(x)严格地通过所给的每个数据点 ,就会使曲线保持原有的测试误差。当个别数据的误差较大时,插值效果显然是不理想的。 其次,由实验提供的数据往往较多(即m较大
2、),用插值法得到的近似表达式,明显地缺乏实用价值。,2,因此,怎样从给定的一组数据出发,在某个函数类中寻求一个“最好”的函数(x)来拟合这组数据,是一个值得讨论的问题。 随着拟合效果“好”、“坏”标准的不同,解决此类问题的方法也不同。这里介绍一种最常用的曲线拟合方法,即最小二乘法。 2 什么是最小二乘法 如前所述,在一般情况下,我们不能要求近似曲线 y=f(x)严格地通过所有数据点 ,亦即不能要求所有拟合曲线函数在 xi 处的偏差(亦称残差) 都严格地趋于零。但是,为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋势,要求i都较小还是需要的。达到这一目标的途径很多,常见的有: (1)选取(x),使偏差绝
3、对值之和最小,即,(2.1),3,(2) 选取(x),使偏差最大绝对值最小,即 (2.2) (3)选取(x),使偏差平方和最小,即 (2.3) 为了方便计算、分析与应用,我们较多地根据“偏差平方和最小”的原则(称为最小二乘原则)来选取拟合曲线y=(x) 按最小二乘原则选择拟合曲线的方法,称为 最小二乘法。 本章要着重讨论的线性最小二乘问题,其基本提法是:对于给定数据表 x x1 x2 xm y y1 y2 ym,4,要求在某个函数类 (其中nm)中寻求一个函数 (2.4) 使*(x)满足条件 (2.5) 式中 是函数类 中任一函数。 满足关系式(2.5)的函数 ,称为上述最小二乘问题的最小二乘
4、解 。 由上可知,用最小二乘法解决实际问题包含两个基本环节:先根据所给数据点的变化趋势与问题的实际背景确定函数类 ,即确定 所具有的形式;然后按最小二乘法原则(2.3)求取最小二乘解 ,即确定其系数 。,5,最小二乘解的求法 由最小二乘解(2.4)应满足条件(2.5)知,点 是多元函数 的极小点,从而 满足方程组 即,6,亦即 若对任意的函数h(x)和g(x) ,引入记号 则上述方程组可以表示成 写成矩阵形式即,(3.1),(3.2),7,方程组(3.2)称为法方程组。当 线性无关时,可以证明它有唯一解 并且相应的函数(2.4)就是满足条件(2.5)的最小二乘解。 综上分析可得 定理1 对任意
5、给定的一组实验数据 (其中 互异),在函数类 ( 线性无关)中,存在唯一的函数 使得关系式(2.5)成立,并且其系数 可以通过解方程组(3.2)得到。 作为曲线拟合的一种常用的情况,若讨论的是代数多项式拟合,即取 则由(3.1)知,8,故相应的法方程组为 下面,通过两个具体的例子来说明用最小二乘法解决实际的问题的具体步骤与某些技巧 。,(3.3),9,例 1 某种铝合金的含铝量为 ,其熔解温度为 c,由实验测得 与 的数据如表3-1左边三列。使用最小二乘法建立 与 之间的 经验公式。 解 根据前面的讨论,解决问题的过程如下: (1) 将表中给出的数据点 描绘在坐标纸上, 如图3-1所示。 (2
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