全国通用2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性教师用书文新人教A版.doc
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1、第三节函数的奇偶性与周期性考纲传真1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(xT)f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,称T为这个函数的
2、周期(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点()(2)若函数yf(xa)是偶函数,则函数yf(x)关于直线xa对称()(3)若函数yf(xb)是奇函数,则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称()(4)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x),则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()答案(1)(2)(3)(4)2已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数,那么ab的值是() 【导学号:3122
3、2032】AB.C.DB依题意b0,且2a(a1),b0且a,则ab.3(2015广东高考)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()Ayxsin 2xByx2cos xCy2xDyx2sin xDA项,定义域为R,f(x)xsin 2xf(x),为奇函数,故不符合题意;B项,定义域为R,f(x)x2cos xf(x),为偶函数,故不符合题意;C项,定义域为R,f(x)2x2xf(x),为偶函数,故不符合题意;D项,定义域为R,f(x)x2sin x,f(x)x2sin x,因为f(x)f(x),且f(x)f(x),故为非奇非偶函数4(2016四川高考)若函数f(x)是定义在R上的周期为2
4、的奇函数,当0x1时,f(x)4x,则ff(2)_.2f(x)是周期为2的奇函数,fff42,f(2)f(0)0,ff(2)202.5(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)x(1x),则x0时,f(x)_.x(1x)当x0时,则x0,f(x)(x)(1x)又f(x)为奇函数,f(x)f(x)(x)(1x),f(x)x(1x)函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)x32x;(2)f(x)(x1);(3)f(x)解(1)定义域为R,关于原点对称,又f(x)(x)32(x)x32x(x32x)f(x)该函数为奇函数.4分(2)由0可得函数的定义域为(1,1
5、函数定义域不关于原点对称,函数为非奇非偶函数.8分(3)易知函数的定义域为(,0)(0,),关于原点对称,又当x0时,f(x)x2x,则当x0时,x0,故f(x)x2xf(x);当x0时,f(x)x2x,则当x0时,x0,故f(x)x2xf(x),故原函数是偶函数.12分规律方法1.利用定义判断函数奇偶性的步骤:2判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系,只有对各段上的x都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性;也可以利用函数的图象进行判断变式训练1(1)(2014全国卷)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()Af(
6、x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数(2)判断函数f(x)的奇偶性(1)CA:令h(x)f(x)g(x),则h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x),h(x)是奇函数,A错B:令h(x)|f(x)|g(x),则h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x),h(x)是偶函数,B错C:令h(x)f(x)|g(x)|,则h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x),h(x)是奇函数,C正确D:令h(x)|f(x)g(x)|,则h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(
7、x)g(x)|h(x),h(x)是偶函数,D错(2)由得x23,x,3分即函数f(x)的定义域为,从而f(x)0.8分因此f(x)f(x)且f(x)f(x),函数f(x)既是奇函数又是偶函数.12分函数奇偶性的应用(1)(2015全国卷)若函数f(x)xln(x)为偶函数,则a_.(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)x24x,则f(x)_.(1)1(2)(1)f(x)为偶函数,f(x)f(x)0恒成立,xln(x)xln(x)0恒成立,xln a0恒成立,ln a0,即a1.(2)f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)0.又当x0时,x0,f(x)x24x.又f(x)为奇
8、函数,f(x)f(x),即f(x)x24x(x0),f(x)规律方法1.已知函数的奇偶性求参数,一般采用待定系数法求解,根据f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值;2已知函数的奇偶性求函数值或解析式,将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性得出关于f(x)的方程(组),从而可得f(x)的值或解析式变式训练2设f(x)为定义在R上的奇函数当x0时,f(x)2x2xb(b为常数),则f(1)() 【导学号:31222033】A3B1C1D3A因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)2020b0,解得
9、b1,所以当x0时,f(x)2x2x1,所以f(1)f(1)(21211)3.函数的周期性及其应用设定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x),且当x0,2)时,f(x)2xx2,则f(0)f(1)f(2)f(2 017)_.1 009f(x2)f(x),函数f(x)的周期T2.又当x0,2)时,f(x)2xx2,f(0)0,f(1)1,f(0)f(1)1.f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(2 016)f(2 017)1,f(0)f(1)f(2)f(2 017)1 009.迁移探究1若将本例中“f(x2)f(x)”改为“f(x1)f(x)”,则结论如何?解f(x1)f(x
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