2019届高考数学文科二轮分类突破训练:第二篇考点六 考查角度1 用导数解决函数的单调性、极值与最值问题 Word版含解析.pdf
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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 考查角度 1 用导数解决函数的单调性、极值与最值问题 分类透析一 求函数的单调区间 例 1 已知函数f(x)=ax3+x2(aR)在x=-处取得极值. 4 3 (1)确定a的值; (2)若g(x)=f(x)ex,求函数g(x)的单调减区间. 分析 (1)先求出函数的导数,然后把x=-代入可确定a的值;(2) 4 3 先求出g(x)的函数解析式,再求导数,最后利用导数求单调性的方法 求出单调递减区间. 解析 (1)对f(x)求导得f(x)=3ax2+2x, 因为f(x)在x=-处取得极值,f=0, 4 3 (- 4 3) 即 3a+2=- =0,解得a
2、= . 16 9 (- 4 3) 16 3 8 3 1 2 (2)由(1)得g(x)=ex, ( 1 2 3 + 2) 故g(x)=ex+ex ( 3 2 2 + 2x)( 1 2 3 + 2) =ex= x(x+1)(x+4)ex. ( 1 2 3 + 5 2 2 + 2x) 1 2 令g(x)0,h(x)= -ax-2. 1 2 1 若函数h(x)在(0,+)上存在单调递减区间, 则当x0 时,-ax-2 -有解. 1 1 2 2 设G(x)= -,x0,aG(x)min. 1 2 2 又G(x)=-1,G(x)min=-1. ( 1 - 1) 2 a-1.即实数a的取值范围是(-1,+)
3、. (2)h(x)=ln x- ax2-2x在1,4上单调递减, 1 2 当x1,4时,h(x)= -ax-20 恒成立, 1 则a-恒成立. 1 2 2 设G(x)= -,x1,4, 1 2 2 aG(x)max. 又G(x)=-1,x1,4, ( 1 - 1) 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 G(x)max=-(此时x=4),a-. 7 16 7 16 故实数a的取值范围是. - 7 16, + ) 方法技巧 1.已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件 f(x)0(或f(x)0),x(a,b)恒成立,求出参数的取值范围(一般 可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的
4、取值范围是f(x)不恒 等于 0 的参数的取值范围. 2.若函数y=f(x)在区间(a,b)上不是单调函数,则问题转化为 f(x)=0 在(a,b)上有解. 分类透析三 已知函数求极值(点) 例 3 已知函数f(x)=x-1+(aR,e 为自然对数的底数). e (1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线平行于x轴,求a的值; (2)求函数f(x)的极值. 分析 运用导数的几何意义求出参数的值,求带有参数的函数的 极值时,要注意分类讨论. 解析 (1)由f(x)=x-1+,得f(x)=1- . e e 又曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线平行于x轴, 得f(1)=0,即 1-
5、=0,解得a=e. e (2)f(x)=1-, e 当a0 时,f(x)0,f(x)为(-,+)上的增函数,所以函数 f(x)无极值. 当a0 时,令f(x)=0,得 ex=a,即x=ln a, 当x(-,ln a)时,f(x)0. 所以f(x)在(-,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增. 故f(x)在x=ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)=ln a,无极 大值. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 综上,当a0 时,函数f(x)无极值; 当a0 时,f(x)在x=ln a处取得极小值 ln a,无极大值. 方法技巧 函数极值的两类热点问题 (1)由函数极值求
6、参数的值或取值范围. 已知函数极值,利用导数的几何意义求参数的值,利用极值点的 定义求参数的取值范围. (2)求函数f(x)的极值这类问题的一般解题步骤: 确定函数的定义域;求导数f(x);解方程f(x)=0,求出在 函数定义域内方程的所有根;列表检验f(x)在f(x)=0 的根x0左 右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负 右正,那么f(x)在x0处取极小值. 分类透析四 利用导数求函数的最值 例 4 已知函数f(x)=ln x-ax(aR). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a0 时,求函数f(x)在1,2上的最小值. 分析 (1)已知函数的解析式求
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