第一部分矢量分析与场论教学课件.ppt
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1、第一章 矢量分析与场论,标量场和矢量场,梯度、散度、旋度,矢量场的初等运算,矢量场的微、积分,亥姆霍兹定理,场的图示法,1.1 常用坐标系(正交系),形式 坐标 取值范围 几何意义,z,z,z,x,y,O,O,O,x,(x0 y0 z0),r,x,y,(0 0 z0),(r0 0 0 ),三种正交系的相互关系,X=cos = rsin cos Y=sin = rsin sin Z=rcos r2= x2 + y2 +z2 = 2 + z2 = rsin = arc tg(y/x) = arc cos(z/r) cos = (x/r) cos = (y/r) cos = (z/r) cos2 +
2、cos2 +cos2 = 1,1.2 标量与矢量,物理量通常是时间和空间的函数 描述空间的数学语言是坐标 描述物理量的数学语言是标量和矢量,标量(A):只有大小没有方向的物理量,矢量(A):即有大小又有方向且符合平行四边形法则的物理量。,算数量:0 代数量:0 不变量:AB,标量与矢量,复数,1.3 标量场与矢量场,1.4 坐标单位矢量、常矢、变矢,单位矢量 eA : 模(大小)为1,以矢量 A 的方向为方向的矢量。,坐标单位矢量:指坐标(线)矢量上的单位矢量。,(若将坐标线标上方向则该坐标线称坐标(线)矢量),常矢:大小和方向均不变的矢量。 变矢:大小和方向其中有一个发生变化的矢量。,1.5
3、 源点、场点、矢径、距离矢量,矢径是一特殊的矢量,具有明确的定义和表达式, 表示的是空间位置,没有物理含义。,源点:源所占有的空间位置称源点,用符号S表示。 场点:除源以外的其它空间位置称场点,用符号P表示。,距离矢量 R:由源点指向场点的矢量, 用符号 R 表示。 R = r - r,1.5 源点、场点、矢径、距离矢量,例:已知,A = xyex + z2 ey + y ez 求:A及r 在点P(1,2,2)的值,且图示。,注意:矢径和矢量的区别,解: 求值 r = x ex + y ey + z ez 由题意可知:x=1, y=2, z=2 将此代入A及r 得: A = 2ex + 4 e
4、y + 2 ez ; r = ex + 2 ey + 2 ez,1.6 矢量的初等运算,矢量的初等运算与标量一样有加、减、乘但没有除 且以各矢量同在某一点为前提,加,减,乘,AB = (Ax Bx ) ex + (Ay By ) ey + ( Az Bz ) ez,标乘,点乘,叉乘,A = Axex + Ay ey + Azez,性质:1、若 AB = 0 则 AB 2、 AA = A2,AB = ABsin(AB )en =,ex ey ez Ax Ay Az Bx By Bz,性质:1、若 AB = 0 则 AB 2、 AA = 0,AB,A,B,en,1.6 矢量的初等运算,矢量初等运算
5、规则(设:A 、B、C 都是矢量),A+B = B+A ; A(BC) = (AB ) C,AB =BA ; A(B+C) = AB+AC,AB = - BA ; A (B+C) = AB+AC,A(BC) = B (CA) = C (AB),(AB) C A (BC) ; A (BC) (AB) C,A (BC) = (A C) B - (AB) C, Ax Ay Az ABC = BCA = CAB = Bx By Bz Cx Cy Cz,若 B=C 则 AB = A C及AB = A C 成立 若 AB = A C及AB = A C 则 B=C不一定成立,结论:等式两边可同时“点”和“叉
6、”, 但不能随意消去相同的量,1.7 坐标变换,O,O,u,w,v,z,x,y,q,q,3、坐标旋转 坐标系是一钢架, 当某一轴替代另一轴时, 其它轴也应相应变换。,O,x,z,y,O,y,x,z,O,x,z,y,原坐标,新坐标,1.7 坐标变换,4、坐标单位矢量的变换 设:u 和 v 分别为正交坐标系 ev1 = cos(ev1eu1)eu1 cos(ev1eu2)eu2cos(ev1eu3 )eu3 = (ev1 eu1 ) eu1 (ev1 eu2) eu2(ev1 eu3 ) eu3 同理: ev2 = (ev2 eu1 ) eu1 (ev2 eu2) eu2(ev2 eu3 ) eu
7、3 ev3 = (ev3 eu1 ) eu1 (ev3 eu2) eu2(ev3 eu3 ) eu3 用矩阵表示: ev1 ev1 eu1 ev1 eu2 ev1 eu3 eu1 ev2 = ev2 eu1 ev2 eu2 ev2 eu3 eu2 ev3 ev3 eu1 ev3 eu2 ev3 eu3 eu3,eu1,eu3,eu2,ev1,以上讨论的是一般正交系的转换,由此可得: 直角坐标系、圆柱坐标系、球面坐标系间的单位矢量的变换关系,球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换,1.7 坐标变换,球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换,1.7 坐标变换,方法(二):,例:已知,在点P(1,1,
8、0)处有一常矢量 A = 2ex + 4 ey + 2 ez 求:A在该点的球坐标表达式。 求:A在(2,2,2)点处的直角坐标和球坐标表达式。,对于点(1,2,2): sin = 1, sin=1/ 2, cos=0, cos=1/ 2 因此:ex = 1/2er-1/2e , ey = 1/2er+1/2e , ez = e A = 32er 2 e +2 e 对于点(2,2,2) : sin = sin= cos= cos=1/2 因此:ex = 1/2er+1/2e -1/2e , ey = 1/2er+1/2e +1/2e ez = 1/2 er-1/2 e 球: A =(3+2)e
9、r +(3 -2)e 2e 直:ex ,ey ,ez为常矢 ,因而A不随点变化 A = 2ex +4ey +2ez,以上结果显示: 同一矢量 ,在同一点其直坐标和球坐标表达式是完全不同的。 但由矢量场的不变性可知:,对于点(1,2,2): A = 32er 2 e +2 e = 2ex + 4 ey + 2 ez 对于点(2,2,2) :A =(3+2)er +(3 -2)e 2e= 2ex +4ey +2ez,同一常矢量 ,在不同点其直坐标下的表达式是不变的, 而球坐标下的表达式是完全不同的。,这提醒我们不要因为表达式的差异而忘了它们的不变性 即:无论你选择那种坐标,所得到的场性能都是一样的
10、。,这表明除直坐标外: 坐标轴与坐标点有关,当点变化坐标轴也可能变。 对于每一种坐标系每个坐标点都与唯一的一组坐标轴对应,对于柱或球坐标系每条或r射线都与唯一的一组坐标轴对应,1.8 微分元 微分元是矢量微、积分的基础。,坐标线元 dx dy dz d d dz dr rd rsind,坐标平面元d 若: 则d= x=c, dydz y=c, dxdz z=c, dxdy =c, ddz =c, ddz z=c, dd r=c, r2sindd =c, rsindrd =c, rdrd,坐标体元dv dxdydz dddz r2sindrdd,坐标元 任意元,en,dl = -dxex+dye
11、y+dzez = de +dej+dzez = drer- rde +rsinde,概念:,1.8 微分元,坐标:空间某点的位置可用三个坐标(例:xyz)唯一确定。,坐标线:例:当y=a,z=c(a,c为常数)而 x 连续变化所形成的轨迹 称 x 坐标线。显然 和 坐标线为一族同心圆和半圆。,坐标线元:指与坐标元对应的坐标线,即坐标线上由坐标元引起的 一微小线段。显然,与d,d对应的是一微小的曲线, 很微小,可视为直线因而与坐标轴重合。 这表明:坐标线元可用矢量表示,方向以坐标轴方向为基准。 过某点引出的三条坐标线元是相关垂直的。,坐标面元:两条相关垂直的坐标线元构成的平面,显然这是一矩形。,
12、弧长元(切线)dl: 由空间某点P可引出多条任意曲线,由P点起沿某曲线取一小段(即增量l ) ,且过P点作该曲线的切线,切线上与增量l 相应的切线元dl 称弧长元,显然它是任意方向上的线元。,曲面元(切面) ds:与任意曲面在某点的增量s 相对应的切面元。,坐标轴:坐标线上某点的切线称坐标轴,方向为坐标增大的方向。 显然,只有x,y,z轴的方向不变,其它坐标轴的方向会变。,坐标元:坐标的微分量。,1.9 矢量积分,矢量场通常是时间、空间的函数,而时间、空间分别是独立的,对它们的积分可分别讨论,以使计算简化。,A dt = A1eu1 dt + A2 eu2 dt + A3 eu3 dt = e
13、u1 A1 dt + eu2 A2 dt + eu3 A3 dt,本教材假定所研究的对象是不运动的,即坐标原点O静止。 因此,单位坐标矢量是不随时间而变化的它们可以提到积分号外。,1.9 矢量积分,标性 矢性,A dl = Acos(A,dl) dl =(Axdx + Ay dy + Az dz) = (Ad+Ajd+Azdz) =(Ardr+ Ard +Ajrsind) A ds = Acos(A,ds) ds =Axdydz + Aydxdz + Azdxdy =Addz+Ajddz+Azdd =Arr2sindd+Arsindrd+Ajrdrd fdv =f dxdydz =f dddz
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