概率论与数理统计16讲.ppt
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1、1,概率论与数理统计 第16讲,本文件可从网址 http:/ 上下载,2,超几何分布,3,例 某班有学生23名, 其中有5名女同学, 今从班上任选4名学生去参观展览, 被选到的女同学数X是一个随机变量, 求X的分布.,4,解 X可取0,1,2,3,4这5个值, 相应概率为,5,概率分布表为,6,概率分布图为:,7,定义 设N个元素分为两类, 有N1个元素属于第一类, N2个元素属于第二类(N1+N2=N). 从中按不重复抽样取n个, 令X表示这n个中第一(或二)类元素的个数, 则X的分布称为超几何分布. 其概率函数为:,8,9,根据概率分布的性质, 必有,10,和二项分布相比,二项分布是放回抽
2、样, 而超几何分布是不放回抽样. 当在不放回抽样时, 超几何分布中的N1/N相当于二项分布中的参数p, N2/N相当于二项分布中的q=1-p.,11,超几何分布也可以和二项分布一样看作是n个0-1分布的随机变量Xi的和, i=1,2,.,n, Xi表示第i次抽样抽到第一类元素的事件的次数, 根据抽签原理P(Xi=1)=N1/N, 但如果ij, Xi与Xj相互之间是不独立的.,12,计算超几何分布的数学期望,13,因为X可看作n个相互并不独立但仍然服从同样的0-1分布的随机变量X1,X2,.,Xn的和, X=X1+X2+.+Xn, 其中,14,因此,可以认为超几何分布的数学期望与二项分布的一样,
3、15,计算X的方差,16,因Xi服从0-1分布, 则Xi2也服从同样的0-1分布, 则E(Xi2)=nN1/N, 当ij时, XiXj也服从0-1分布,17,而,18,因此,19,20,也可以直接用定义来计算E(X)和D(X),21,22,23,计算D(X)必须要先计算EX(X-1),24,25,26,因此,27,28,在实际应用中,元素的个数N是相当大的, 例如, 从中国人民中任抽几千个人观察, 从一个工厂的几十万件产品中任抽几千件观察, 等等. 而在N非常大的情况下, 放回抽样和不放回抽样的结果几乎是相同的.,29,因此有, 当N很大的时候, 超几何分布可用二项分布来近似. 或者换句话说,
4、 当N趋于无穷时, 超几何分布的极限是二项分布.,30,为证明这一点, 首先给出一个近似公式,31,这是因为,32,因此, 如果X服从超几何分布, 则当抽样数n保持不变且远小于样本数N即也小于N1和N2时,33,这正是二项分布的概率函数表达式 当N趋于无穷时, 上面的约等于就成为等于,34,例 一大批种子的发芽率为90%, 今从中任取10粒, 求播种后, (1) 恰有8粒发芽的概率; (2) 不少于8粒发芽的概率.,35,解 设10粒种子中发芽的数目为X. 因10粒种子是由一大批种子中抽取的, 这是一个N很大, n相对于N很小的情况下的超几何分布问题, 可用二项分布近似计算.其中n=10, p
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