概率论与数理统计第6讲.ppt
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1、概率论与数理统计 第6讲,本文件可从网址 http:/ 上下载 (单击ppt讲义后选择概率论讲义子目录),全概率定理和贝叶斯定理,例 市上供应灯泡中, 甲厂产品(A)占70%, 乙厂(A )占30%, 甲,乙厂的产品合格率分别为95%, 80%, B表示产品合格, 求总合格率P(B),解 由于B=AB +AB为二互斥事件之和,还可以进一步计算, 如果买到一合格品, 此合格品是甲厂生产的概率P(A|B):,例4 10个考签中有4个难签, 3人参加抽签(不放回), 甲先, 乙次, 丙最后,设事件A,B,C分别表示甲乙丙各抽到难签, 求乙抽到难签的概率P(B),解 利用B=AB +AB, 且 AB
2、与AB 互斥, 得,从形式上看事件B是比较复杂的,仅仅使用加法法则或乘法法则无法计算其概率. 于是先将复杂的事件B分解为较简单的事件AB与AB; 再将加法法则与乘法法则结合起来, 计算出需要求的概率. 把这个想法一般化, 得到全概率定理, 又称全概率公式.,全概率定理 如果事件A1,A2,构成一个完备事件组, 并且都具有正概率, 则对任意一事件B有,证 由于A1,A2,两两互不相容, 因此, A1B,A2B,也两两互不相容. 且,全概率定理的图形理解,如图所示, 事件B的面积为B与各个事件Ai相交的面积之和.,用全概率定理来解题的思路, 从试验的角度考虑问题, 一定是将试验分为两步做, 将第一
3、步试验的各个结果分为一些完备事件组A1, A2,An, 然后在这每一事件下计算或给出某个事件B发生的条件概率, 最后用全概率公式综合,全概率定理解题的思路,例 12个乒乓球都是新球, 每次比赛时取出3个用完后放回, 求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率,解 假设A0,A1,A2,A3为第一次取到0个,1个,2个,3个新球, 当然, 因为一开始都是新球, 因此第一次只能取到3个新球, 即A3为必然事件, 而A0,A1,A2都是不可能事件. 再假设B0,B1,B2,B3为第二次取到0个,1个,2个3个新球, 当第二次取球的时候, 12个乒乓球中必然有3个旧球, 而B0,B1,B2,B3构成完备
4、事件组,并能够求出它们的概率, 再假设C3为最后取到3个新球,则针对C3使用全概率公式.,再假设B0,B1,B2,B3为第二次取到0个,1个,2个3个新球, 当第二次取球的时候, 12个乒乓球中必然有3个旧球, 而B0,B1,B2,B3构成完备事件组,并能够求出它们的概率, 再假设C3为最后取到3个新球,则针对C3使用全概率公式.,则有:,综合就是,贝叶斯定理 若A1,A2,构成一个完备事件组, 并且它们都具有正概率,则对于任何一个概率不为零的事件B, 有,证 由条件概率的定义得,贝叶斯定理解题的题型与全概率定理的题型完全一样, 只是要求的是一个条件概率, 是在信息论中的重要公式, 即在二次试
5、验后, 观察者只能看到最后的结果事件B, 却要根据B来推断第一步试验的哪个事件发生了的条件概率,贝叶斯定理解题的思路,全概率公式和贝叶斯公式可以用表格计算:,例 假定某工厂甲乙丙3个车间生产同一种螺钉, 产量依次占全厂的45%,35%,20%. 如果各车间的次品率依次为4%, 2%, 5%. 现在从待出厂产品中检查出1个次品, 试判断它是由甲车间生产的概率,解 设事件B表示“产品为次品“, A1,A2,A3分别表示“产品为甲,乙,丙车间生产的“, 显然, A1,A2,A3构成一完备事件组. 依题意, 有 P(A1)=45% P(A2)=35% P(A3)=20% P(B|A1)=4% P(B|
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