七章二次型与二次曲面.ppt
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1、第七章 二次型与二次曲面,二次型讨论的对象是多元二次齐次函数,这种函数在物理、统计、规划、极值等问题中有广泛的应用 例如在三维空间的几何问题中,一般二次曲面在直角坐标系下表示为三元二次函数,通过对二次型的讨论,可以研究二次曲面的分类. 本章主要讨论:,1 二次型的理论; 2 空间曲面与曲线; 3. 二次曲面的分类,2矩阵形式:,则二次型的矩阵形式为 为二次型 的矩阵, 为二次型 的秩,3二次型 对称阵 注:讨论二次型问题,首要的问题是给定二次型能准确地写出二次型的矩阵,反之,给定一个对称阵,会写出以它为矩阵的二次型. 这里的关键概念是二次型的矩阵是一个对称矩阵.,例1 设二次型 试写出二次型
2、的矩阵.( 为三元二次型),解:将交叉项 的系数 即平均分配给 及 的二次型的系数矩阵 为 .,例 将二次型 写成矩阵形式. 解: 是一个四元二次型,先写出二次型的矩阵,例 设 ,试写出以 为矩阵的二次型. 分析: 是一个3阶对称阵,对应的三元二次型,把 与 合并后写出二次型.,解:设,7.1.2 合同矩阵 1定义7.2(合同)二个 阶方阵 和 , 可逆阵 ,使 ,则称 与 合同(Congruent)记成 . 矩阵合同的定义与矩阵相似的定义很相似,也是 阶方阵之间的一种等价关系. 即 2合同 等价,合同 等秩,反之都不成立但不等秩,则一定不合同.,3合同关系具有以下性质: (1)自反性: .
3、(2)对称性: 则 . (3)传递性: ,则 . (4) 与 合同,则 . 可逆, .,4(二次型的变换)合同二次型 设二次型 ,经可逆线性变换 ( 可逆) 其中 ,即 与 合同, 仍是对称阵. 所以经可逆线性变换后,二次型的对应矩阵是合同的. 也可以说:合同的矩阵是同一二次型关于不同变量的矩阵我们教材是将变量看成 个基下的坐标, 是一个基到另一个基的过渡矩阵,合同阵是不同基下的矩阵.,5实对称阵 (不但和对角阵相似,也与对角阵合同). 由于实对称可正交相似对角化. 所以存在正交阵 ,使 所以实对称阵 都与对角阵合同. 换句话说,就是任意实二次型都可通过一个适当的可逆线性变换化成只有平方项 而
4、没有混合项 . 这就引出了二次型的标准形的概念.,例4. 与矩阵 既相似又合同的矩阵是( ) (A) . (B) . (C) . (D) .,分析: 是实对称矩阵,所以 正交阵,使它和一个对角阵既相似又合同,对角阵的对角元恰是 的特征值.,解: 的特征值是 ,与 既相似又合同的矩阵是 ,所以应选(D).,7.2.1 用正交变换化实二次型为标准形 对于实二次型,最实用的方法是正交变换法,即所作的可逆线性变换中可逆矩阵 不只是可逆,还是正交矩阵. 这个正交阵的存在是由实对称矩阵的性质决定的,值得注意的是这种方法仅限于实二次型.,定理7.1 对 元实二次型 , 正交线性变换:(不惟一) ,使二次型
5、化为标准形. 是 的 个特征值.,注1 的秩 的标准形中系数不为0的平方项的个数. 2 任一个实二次型都可通过可逆线性变换化为标准形. 元二次型的标准形不惟一,有三种方法化标准形.,例5 用正交线性变换化实二次型为标准形. 化成标准形. 解:(1)二次型 的矩阵为,所以得同解方程组为 得基础解系为 . 正交化:,7.2.2 用配方法化二次型为标准形 如果不考虑正交变换,可以用可逆线性变换把二次型 化为标准形,得到标准形不是惟一的.,可逆. 为可逆线性变换.,7.2.3 用初等变换法化二次型为标准形 矩阵的初等变换法是对二次型矩阵 ,构造一个 的矩阵 ,对 交替作初等行变换和相应的初等列变换,
6、对 作列变换时,同时对 作相同的列变换,当 化作标准形时, 就化作了 . 这就是作可逆线性变换那个可逆矩阵. 对角阵.,例7 用初等变换法将下列二次型化为标准形,并求可逆线性变换 分析:由于左上角的元素为0,而主对角线上第二个元素不为0,将第一列和第二列变换,同时将第一行和第二行交换,使得左上角元素不为0.,解:,由此得标准形 所用的可逆线性变换为 所以,7.3.2 正定二次型 对于实二次型有一个特别重要的性质正定性. 1定义7.3 设有 元实二次型 ,如果对 且 ,都有 ,则称 为正定(负定、半正定、半负定)二次型. 的矩阵称为正定(负定、半正定、半负定)矩阵.,2正定阵 实对称阵,但反之不
7、一定. 3二次型正定的充要条件:,与 正定矛盾,正惯性指数 . 维实向量 ,由 可逆知 故 为正定二次型.,所以 由 可逆及 可逆,知 可逆.,定理7.4 实对称阵 为正定的 的各阶顺序主子式都大于零. 即,重点与难点:在实二次型(或实对称阵)中,合同是一种分类的办法,正定性是另一种分类的方法,重点是正定二次型(或正定矩阵). 注:说 或 是正定的,已经包涵了 实对称, , 可逆 , 及 . 利用 的正定性,来证明其他的问题,则是一个难点,要具体问题具体分析. 1正定阵(正定二次型的判断),例8 判别二次型 的正定性. 解 二次型的对应矩阵为,,,和 具有相同的正定性,故判定 的正定性即可(将
8、分数运算化成参数运算),例9 判断 阶 矩阵 是否正定阵.,解法2 求 的特征值. 得 的特征值为 全 . 故 正定. 2矩阵(二次型)正定性的证明,例10 设 是 阶正定阵,证明 也正定. 证 因为 正定,所以 是实对称,即 , 可逆, 也是实对称.,证1 用正定阵 全部特征值 . 已知 正定, 的 个特征值 都 . 又 的特征值为 都 , 正定.,证2 正定 实可逆阵 使 . 求逆 令 为实可逆阵,所以 正定.,使 ,其中 是 的特征值.,7.4 曲面与曲线,在3.3节已熟悉了平面和空间的直线与三元一次方程之间的关系,现在在前两节研究二次型的基础上,本节重点又从代数转向几何,主要是讨论二次
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