数学专业毕业论文-浅析二元函数中全连续与单变元连续.doc
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1、江西师范大学2011届学士学位毕业论文江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文 浅析二元函数中全连续与单变元连续The continuous building-up of binary function with Univariate continuous姓 名: 学 号: 学 院:数学与信息科学学院 专 业:数学与应用数学 指导老师: 完成时间:2011年3月11日 浅析二元函数中全连续与单变元连续XXX【摘要】本文章是先对一元函数连续概念的了解,在从中推出二元函数的连续与单变元连续。并通过理解二元函数与单个变量关于其余变量之间的联系,建立了二元函数连续的一个充要条件。而且这个结论包含了二
2、元函数全连续与单变量连续之间的转换关系的讨论。本文还从几个定理中证明了并总结了二元函数全连续与单变量连续之间的具体关系。【关键词】二元函数 连续性 全连续 单变量连续 The continuous building-up of binary function with Univariate continuous Xiong dongping【Abstract】Dual function of continuous and single variable continuous are a cricular function continuity of the concept of promoti
3、on, by understanging the binary function to a variable regarding the remaining variables local consistent concept, established binary function condinuous a sufficient and necessary condition, this conclusion is briefly introduced the continuity of binary function with univariate continuously, and fr
4、om a few examples outlining between the concrete relationships.【Key words】 Binary function continuity full continuous Univarate continuous 目录1 引言12 一元函数 12.1一元函数的定义 13二元函数13.1二元函数的定义13.2 二元函数的极限23.3 二元函数的连续43.3.1 二元函数的各种连续性53.3.2 二元函数连续性的证明64 全连续与单变量连续之间的关系85 结束语13参考文献14致谢151引言二元函数的连续与单变量连续都是一元函数连续性
5、概念的推广,几乎所有的数学分析教材都会讨论二元函数这两种连续性的关系。这方面熟知的结论是:二元函数在一点是连续的蕴涵着在这一点也是单变量连续的。但反过来,二元函数在一点分别对各变量连续并不能保证该函数在这一点是连续的。例如:二元函数在原点处显然不连续,但由于,因此在原点处对自变量和分别连续。 本文继续这方面的研究,通过理解二元函数对某个变量连续关于其余变量局部一致的概念,建立了二元函数的连续与对单变量连续的关系,几个已有的例子都是本文主要结果的简单结论。2 一元函数定义1 设函数在某点内有定义。若 则称在点连续。3 二元函数3.1 二元函数的定义 定义 设平面点集D,若按照某对应法则,D中每一
6、点都有唯一确定的实数z与之对应,则称为定义在D上的二元函数(或称为D到R的一个映射),记作 且称D为f的定义域;PD所对应的为在点P的函数值,记作z=或;全体函数值的集合为的值域,记作,通常还把的坐标与称为的自变量,而把称为因变量。为了方便起见,由式所确定的二元函数也记作 或 例1 函数的图象是中一个平面,其定义域是,值域是3.2 二元函数的极限定义 设为定义在上的二元函数,为的一个聚点,是一个确定的实数。若对任给正数,总存在某正数,使得当时,都有 则称在上当时,以为极限,记作 或在对于不致产生误解时,也可以简单地写作 当,分别用坐标,表示时,式也常写作 例 2 依定义验证 证 因为先限制在点
7、的方邻域 内讨论,于是有 所以 设为任给的正数,取,则当时就有 定理 的充要条件是:对于D的任一子集,只要是的聚点,就有推论 设是的聚点。若不存在,则也不存在推论 设是它们的聚点,若存在极限, 但,则不存在推论 极限存在的充要条件是:对于D中任一满足条件且的点列,它所对应的函数列都收敛例2 证明下列函数在处全面极限不存在: 提示 1)令或化为极坐标2)分母当时为零,因此可以考虑沿与相切的高次曲线的路经的极限,例如令,令取极限。得极限与有关。3)可比较与之二路径的极限。4)除点外,处处连续,但在点二累次极限存在不相等。例3 讨论解 当动点3.3 二元函数的连续性 目前,国内教材在讨论二元函数的连
8、续性时对定义域有不同的规定。如文献要求是定义在点集D上的二元函数即可,它只用语言来定义二元函数在一点的连续性,按其定义可推出D中的每一个孤立点都是的连续点;文献要求是定义在平面区域D上的二元函数,它用极限来定义在点的连续性;文献对定义域没有明确规定,但是同文献一样用极限来定义在一点的连续性,这样可推所知谈论的连续点必是定义域的聚点。经过比较,我们认为文献的处理方法更为合理。理由是文献对连续点要求过于宽松,孤立点是连续点既没有理论上的意义,也与我们的直观认识不相符;而文献中对的定义域的要求也过于严格,比如是定义在平面上一条曲线上的函数其中。这时该函数表示平面上一条不间断的抛物线,但由于定义D域不
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