数学论文-一类递推数列的单调性与极限.doc
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1、一类递推数列的单调性与极限(孝感学院 数学与统计学院 湖北 孝感 432000)摘 要: 本文讨论了一类递推数列的单调性与收敛性问题,同时也推广与包含了近期一些文献中的结果.关键词: 递推数列;单调性;不动点;收敛 The Limits and Monotonicity of a Recursive SequenceXIA Yu-cheng(Department of Mathematics and Statistics,Xiaogan university,Xiaogan,Hubei 432000,China)Abstract: In this paper, the results on t
2、he monotonicity and convergence of the recursive sequence in some resent documents are given, and then, the results are generalized.Key words: recursive sequence ; monotonicity; fixed point; convergence.1 引言及定义在近期的一些文献中,讨论了形如()的递推数列的极限问题1-7,这类数列的极限问题经常出现在研究生入学试题与大学数学竞赛试题中,在高等数学中占有重要的地位.研究结果表明,这类递推数列
3、极限的存在性与求法往往与它的迭代函数的不动点相关联,该递推数列的迭代函数为,注意到不变号,它启发我们从迭代函数的不动点与导函数的不变号两方面考虑这类问题.本文将给出联系迭代函数的不动点与导函数的几个实用命题,把现行文献1-7中的相关结论进行拓广,通过这些命题使我们可以统一处理有关例子,揭示这类试题的背景与思想方法. 定义1对于函数,若存在实数,使,则称为的不动点.定义 2对于函数,若数列满足,则数列称为递推数列,称为数列的迭代函数,称为初始值.2命题与证明命题1 设函数在上连续,在上可导,且,.设,则递推数列()收敛.证明 只需证明数列单调有界,可用归纳法证之.1当时,由于,因此,又,所以,而
4、,故有,从而结论成立.2假设当时,结论成立,即.当时,由于,则有,即得,也即,从而当时,结论成立.故命题1得证.命题2 设函数在上连续,在上可导,且,.设,则递推数列(,)收敛.证明 类似于命题1,可以证明数列单调递减并且有界,即,从而数列收敛.注:在命题1,命题2的条件下,若还满足“在上有唯一的不动点”条件,易知数列必收敛于该不动点.事实上,在满足所给条件的情况下,由数学分析8中的确界原理及上确界的定义,对于命题1中的数列,必为其上确界.任给,按上确界的定义,存在数列中的某一项,使得.又由的递增性,当时有.另一方面,由于是的一个上界,故对一切都有.所以当时有,从而.这为命题1,2的应用提供了
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