毕业设计(论文)-运用拉普拉斯方程求解有特殊电荷分布的空间电势.doc
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1、运用拉普拉斯方程求解有特殊电荷分布的空间电势xxx 物理与电子信息学院物理学专业2007级 指导老师:xxx摘 要:空间中有电荷分布时,可以根据微分形式的静电场基本方程导出均匀介质中电位的微分方程泊松方程,通过求泊松方程程的解知道空间电势分布。然而空间各点的电势看作是自由电荷在空间产生的电势与介质上的极化电荷在空间产生的电势相叠加,自由电荷在空间的电势可以运用高斯(M.E.Gauss)定理进行求解,而介质上的极化电荷在空间产生的电势满足普拉斯方程,可以用分离变量法求解;这样将自由电荷在空间产生的电势转化为运用高斯(M.E.Gauss)定理求解自由电荷在空间产生的电势与普拉斯方程求解介质上的极化
2、电荷在空间产生的电势相叠加,使问题得到简化。关键词:电势;泊松方程;拉普拉斯方程;高斯定理;分离变量法Solution of the Electric Potential in the Space with Free Electric Charge Special Distribution by Laplaces Equation TianJunCollege of Physics and Electronic Information ,China West Normal UniversityInstructor:LanXiaoGangAbstract:The electric potenti
3、al with free electric charge specialdistribution (symmetry of sphere),was solved by Laplaces equation. In this case, the spatialpotential is considered of superposition of the potetial produced by free electric charges and polarized charges.It could be solved with Gausss Law, and the potential produ
4、ced by polarized chargeswas depicted by laplaces quation which can solved by the separationofvariable method. As a result Poissons equation can be transferred into Laplaces equation ,which can be solved easier.Key words: :electric potential;Poissong equation;laplace s equation;gausss law;separation
5、of- variable method目 录摘要.1引言.3第一章 预备知识.31.1 静电问题的唯一性定理 .31.2 静电场标势的边值关系.41.3 静电问题的唯一性定理 .41.4 拉普拉斯方程 的通解 .5第二章 理论分析与解法. 7第三章 总结.13参考文献.14致谢.14引 言从理论上来讲,若已知均匀介质中的全部电荷分布,可以运用 (1)计算电位分布,再由求得电场强度,但是,对于很多电场问题,场域中的介质只是均匀分布,并且其电荷分布往往要有电场的计算结果来确定而且计算前是未知的,因此,直接运用(1)式计算电场的问题是十分有限的。因此,空间中有电荷分布时,可以根据微分形式的静电场基本
6、方程导出均匀介质中电位的微分方程泊松方程或拉普拉斯方程。求解泊松方程的方法很多,有特解法、应用细胞神经网络法、高精度紧致差分法、五点差分格式法有理宏单元法、相干光反馈系统模拟法、基函数无网格配点法等,这些方法的求解思路和步骤是非常的复杂。只有当空间没有电荷分布时,满足拉普拉斯方程,然后运用分离变量法进行求解。但是当空间有电荷分布时,且电荷分布有一定特殊性时我们有没有解决的方法呢?能不能用某种方法或手段将泊松方程化为我们所熟悉的拉氏方程,然后进行求解?这是本文须探讨的问题。 本文所用的方法或手段就是将空间各点的电势看作是自由电荷在空间产生的电势与介质上的极化电荷在空间产生的电势的叠加,前者可以用
7、高斯定理进行求解其自由电荷产生的电势而后者满足拉普拉斯方程,可以用分离变量法求解这样我们就把空间中有自由电荷分布时,需求解的泊松方程的问题转化为拉氏方程进行求解,问题也就得到解决了。一、 预备知识1.静电势的微分方程 当空间有自由电荷分布时,静电场的基本方程之一是,与方程是等价的。将介质的本构方程带入静电场的另一个方程,得到,再将得到静电势的微分方程 (2)或者为 (3)为自由电荷体密度,式(3)称为泊松方程。要给定势的边界条件和边值关系就可以求出电势的分布,但是求解是非常困难的。对于无自由电荷处,式(3)变 (4) 式(4)称为拉普拉斯方程(拉氏方程)。算子()称为拉普拉斯算子。 2.静电场
8、标势的边值关系 在两介质的界面上,电势必须满足边值关系,由电场的边值关系可以化为电势的边值关系. (5) (6)从介质1指向介质2,在介质1和介质2的分界面两侧相邻两点由于电场强度有限因此界面两侧电势相等 (7)而另外一种边值关系由(5)式表示为 (8)式中是法线方向的偏导数,为界面上的自由电荷面密度。对于导体有 (9) (10)3. 静电问题的唯一性定理区域可以分为无数个均匀区域,每个区域的电容率为,在内有给定的自由电荷分布体密度,电势在均匀区域满足泊松方程 (11)在两个区域和的分界面上满足边值关系: (12)泊松方程(11)式和边值关系(12)式是电势所必须满足的方程。此外还要给定的电势
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