一章建立数学模型.ppt
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1、第一章 建立数学模型,1.1 从现实对象到数学模型 1.2 数学建模的重要意义 1.3 数学建模示例 1.4 数学建模的方法和步骤 1.5 数学模型的特点和分类 1.6 怎样学习数学建模,玩具、照片、飞机、火箭模型 , 实物模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机 , 物理模型,地图、电路图、分子结构图 , 符号模型,模型是为了一定目的,对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物,模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征,1.1 从现实对象到数学模型,我们常见的模型,你碰到过的数学模型“航行问题”,用 x 表示船速,y 表示水速,列出方程:,答:船速每小时20千米/小时.,甲乙两地相
2、距750千米,船从甲到乙顺水航行需30小时, 从乙到甲逆水航行需50小时,问船的速度是多少?,x =20 y =5,航行问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设(船速、水速为常数);,用符号表示有关量(x, y表示船速和水速);,用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以 时间)列出数学式子(二元一次方程);,求解得到数学解答(x=20, y=5);,回答原问题(船速每小时20千米/小时)。,数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模(Mathematical Modeling),对于一个现实对象,为了一个特定目的, 根据其内在规律,作出必要的简化假设, 运用适当的数学工具,
3、得到的一个数学结构。,建立数学模型的全过程 (包括表述、求解、解释、检验等),数学模型,数学建模,1.2 数学建模的重要意义,电子计算机的出现及飞速发展;,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步, 越来越受到人们的重视。,在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地;,在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具;,数学进入一些新领域,为数学建模开辟了许多处女地。,数学建模的具体应用,分析与设计,预报与决策,控制与优化,规划与管理,数学建模,计算机技术,知识经济,1.3 数学建模示例,1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗,问题分析,模型假设,通常 三只
4、脚着地,放稳 四只脚着地,四条腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形;,地面高度连续变化,可视为数学上的连续面;,地面相对平坦,使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性,用 (对角线与 x 轴的夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是的函数,四个距离(四只脚),A,C 两脚与地面距离之和 f (),B,D 两脚与地面距离之和 g (),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD 绕O点旋转,正方形对称性,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,F ( ) , g ( )是连续数,对任意
5、, f ( ), g ( )至少一个为0,数学问题,已知: f ( ) , g ( )是连续函数 ; 对任意, f ( ) g ( )=0 ; 且 g (0)=0, f (0) 0. 证明:存在0,使 f (0) = g (0) = 0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,将椅子旋转900,对角线AC和BD互换。 由g(0)=0, f(0) 0 ,知f(/2)=0 , g(/2)0. 令h()= f()g(), 则h(0)0和h(/2)0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0
6、, 即f(0) = g(0) . 因为f() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.,评注和思考,建模的关键 ,假设条件的本质与非本质,考察四脚呈长方形的椅子,和 f(), g()的确定,1.3.2 商人们怎样安全过河,问题(智力游戏), 3名商人 3名随从,随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.,但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员,要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.,模型构成,xk第k次渡河前此岸的商人数,yk第k次渡河前
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