2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习:第三章 第17讲 导数与函数的极值、最值 Word版含解析.pdf
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1、第 17 讲 导数与函数的极值、最值 夯实基础 【p41】 【学习目标】 会用导数求函数的极值和某闭区间上的最值 【基础检测】 1下列说法正确的是( ) A函数的极大值就是函数的最大值 B函数的极小值就是函数的最小值 C函数的最值一定是极值 D闭区间上的连续函数一定存在最值 【解析】结合本题构造一个具体函数,理解函数的极值点与最值点是不相同的两个概念 如图所示, 函数 yf(x)在 B、 D 处分别存在极值, 其中 B 是极大值点, 但不是最大值点, D 是极小值点,但不是最小值点 ; C 是最值点,但不是极值点闭区间上的连续函数一定存在最 值 【答案】D 2下列函数中,既是奇函数又存在极值的
2、是( ) Ayx3 Byln(x) Cyxex Dyx2 x 【解析】A 项,y3x20,在定义域上单调递增,没有极值; B 项,yln(x)的定义域为(,0),显然不是奇函数; C 项,设 f(x)yxex,则 f(x)xexf(x),不是奇函数; D 项,设 f(x)yx ,则 f(x)x f(x),故为奇函数, 2 x 2 x 又 y1,当 x时,y0, 2 x2 2 2 原函数在区间(,)上递增,在区间(,0)上递减,22 所以点(,2)是一个极大值点,22 同理,点(,2)是极小值点22 故 D 项正确 【答案】D 3函数 f(x) x2ln x 的最小值为( ) 1 2 A. B1
3、 C0 D不存在 1 2 【解析】函数 f(x)的定义域为(0,), f(x)x ,令 x 0 得 x1, 1 x 1 x 当 x(0,1)时,f(x)0,f(x)在(0,1)上递减; 当 x(1,)时,f(x)0,f(x)在(1,)上递增, 所以当 x1 时,f(x)取得最小值 f(1) . 1 2 【答案】A 4已知 x0 是函数 f(x)(x2a)(x2a2x2a3)的极小值点,则实数 a 的取值范围是 _ 【解析】因为 f(x)x3(a22a)x24a4, 所以令 f(x)3x22(a22a)x3x0, x 2(a2 22a) 3 可得函数 f(x)x3(a22a)x24a4的两个极值
4、点分别为 x0,x, 2(a2 22a) 3 由题意0,即 a22a0,解之得 a2. 2(a2 22a) 3 【答案】a2 或 a0,f(x)在 R 上单调递增, 所以函数 f(x)无极值 当 a0 时,令 f(x)0,得 exa,即 xln a. 当 x(,ln a)时,f(x)0. 所以 f(x)在区间(,ln a)上单调递减, 在区间(ln a,)上单调递增, 故 f(x)在 xln a 处取得极小值, 且极小值为 f(ln a)ln a,无极大值 综上,当 a0 时,函数 f(x)无极值; 当 a0 时,f(x)在 xln a 处取得极小值 ln a,无极大值 【小结】含参函数的极值
5、的讨论步骤: (1)求函数的定义域; (2)求导函数; (3)以导函数的零点存在性进行讨论; (4)当导数存在多个零点时,讨论它们的大小关系及与区间的位置关系; (5)画出导函数的同号函数的草图,从而判断其导函数的符号; (6)由上一步的草图,列出 f(x),f(x)随 x 变化的情况表,并写出函数的单调区间; (7)综合上述讨论的情形,完整地写出函数的单调区间,从而可得极值 考点 2 利用导数研究函数的最值 已知函数 f(x),x1,)例2 x2 22xa x (1)当 a 时,求函数 f(x)的最小值; 1 2 (2)若对于任意 x1,),f(x)0 恒成立,试求实数 a 的取值范围 【解
6、析】(1)当 a 时,f(x)x2,x1,) 1 2 x2 22xa x 1 2x 由 f(x)10,x1,) 1 2x2 2 2x2 21 2x2 2 函数 f(x)是增函数 当 x1 时,f(x)的最小值为 . 7 2 (2)对任意 x1,),f(x)0 恒成立, 即0 对任意 x1,)恒成立 x2 22xa x x22xa0 对任意 x1,)恒成立 设 g(x)x22xa,则 g(x)2x2, 当 x1,)时,g(x)0,函数 g(x)是增函数 当 x1 时,g(x)取得最小值 3a, 由题意得 3a0,a3. 【小结】求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的方法: 求函数在无穷区间(或开
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