2019-2020学年高中数学北师大版必修2课件:1.4.2 等角定理与异面直线所成的角 .pdf
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1、-1- 第2 2课时 等角定理与异面直线所成的角 -2- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 -3- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 1.等角定理 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或 互补. 名师点拨等角定理的符号语言与图形语言及作用. (1)图形语言:如图所示. (2)符号语言:已知OAOA,OBOB,则AOB=AOB或 AOB+AOB=180.
2、(3)作用:判断或证明两个角相等或互补. -4- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 【做一做1】 空间两个角,的两边分别对应平行,且方向相同,若 =50,则等于( ) A.50B.130 C.40D.50或130 解析:由等角定理知与相等. 答案:A -5- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 2.异面直线所成的角 如图所示,过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线
3、l1,l2(al1,bl2),这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直 线a,b所成的角.如果两条异面直线所成的角是直角,我们称这两条 直线互相垂直.记作:ab. -6- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 做一做2 如图所示,在四面体ABCD中,E,F,G分别为BC,AD,DB 的中点,若AB与CD所成的角为60,则FGE= . 解析:因为E,F,G分别为BC,AD,DB的中点,所以FGAB,EGDC, 所以FGE=60或120. 答案:60或120 -7- 第2课时 等角定理与
4、异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 3.空间四边形 四个顶点不在同一平面内的四边形叫作空间四边形. 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打 “”. (1)若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且方向相同,则 这两个角相等. ( ) (2)若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且有一组对边方 向相同,另一组对边方向相反,则这两个角互补. ( ) (3)若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,则这两个角相等. ( ) (4)若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且方向相反,
5、则 这两个角互补. ( ) (5)两条异面直线所成角的范围为0,90). ( ) -8- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二一题多解 探究探究一等角定理的应用等角定理的应用 【例1】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱 AD和A1D1的中点.求证: (1)四边形BB1M1M为平行四边形; (2)BMC=B1M1C1. 分析:本题是在正方体中研究问题,(1)欲证四边形BB1M1M是平行 四边形,可证其一组对边平行且相等;(2)可结合(1)利用定
6、理证明或 利用三角形全等证明. -9- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二一题多解 证明:(1)在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A1D1的中 点,MM1=AA1,MM1AA1. 又AA1=BB1,AA1BB1, MM1=BB1,且MM1BB1. 四边形BB1M1M为平行四边形. (2)方法一:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形, B1M1BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形, C1M1CM. 由平面几何知识可知,BMC和B1M1C1都是锐 角,
7、BMC=B1M1C1. -10- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二一题多解 方法二:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形, B1M1=BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形. C1M1=CM. 又B1C1=BC,BCM B1C1M1. BMC=B1M1C1. 反思感悟1.要明确等角定理的两个条件,即两个角的两条边分别 对应平行,并且方向相同,这两个条件缺一不可. 2.空间中证明两个角相等,可以利用等角定理,也可以利用三角形 的相似或全等,还可以利用平行四边形
8、的对角相等.在利用等角定 理时,关键是弄清楚两个角对应边的关系. -11- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二一题多解 变式训练变式训练1在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分别为边A1C1,AC和AB 的中点. 求证:PNA1=BCM. 证明:因为P,N分别为AB,AC的中点,所以PNBC. 又M,N分别为A1C1,AC的中点,所以A1MNC. 所以四边形A1NCM为平行四边形,故A1NMC. 由及PNA1与BCM对应边方向相同,得PNA1=BCM. -12- 第
9、2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二一题多解 探究二求两条异面直线所成的角探究二求两条异面直线所成的角 【例2】 如图所示,已知正方体ABCD-ABCD. (1)哪些棱所在的直线与直线BC是异面直线? (2)求异面直线AD与BC,BC与CD所成角的大小以及AC与AB所 成角的正切值. 分析:(1)按照异面直线的定义进行判断;(2)根据异面直线所成角 的定义进行求解. -13- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当
10、堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页 探究一探究二一题多解 解:(1)所在直线与BC是异面直线的棱 有:AA,DD,AB,DC,AD,AD. (2)因为ADBC,所以AD与BC所成的角就是BC与BC所成的角. 因为BCBC,所以AD与BC所成的角等于90. 因为ABCD,所以BC与CD所成的角就是BC与AB所成的角. 因为ACB是等边三角形,所以ABC=60,故BC与CD所成角 的大小为60. 因为ABCD,所以ACD就是异面直线AC与AB所成的角. 在ACD中,若设正方体的棱长为a, -14- 第2课时 等角定理与异面直线所成的角ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIA
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