2011高考数学总复习课件10.2排列与组合.ppt
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1、10.2 排列与组合 要点梳理 1.排列 (1)排列的定义:从n个 的元素中取出m (m n)个元素,按照一定的 排成一列,叫做从 n个不同的元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列数的定义:从n个不同的元素中取出m( mn)个元素的 的个数叫做从n个 不同的元素中取出m个元素的排列数,用A 表示. 不同 顺序 所有不同排列 基础知识 自主学习 (3)排列数公式:A = . (4)全排列:n个不同的元素全部取出的 ,叫 做n个不同元素的一个全排列,A =n (n-1) (n-2)21= .于是排列数公式写成阶乘 的形式为 ,这里规定0!= . 2.组合 (1)组合的定义:从n个 的元素中取出
2、m(m n)个元素 叫做从n个不同的元素中取出 m(mn)个元素的一个组合. n(n-1)(n-2)(n-m+1) 排列 n! 1 不同 合成一组 (2)组合数的定义:从n个不同的元素中取出m(m n)个元素的 的个数,叫做从n个 不同的元素中取出m(mn)个元素的组合数,用 C 表示. (3)组合数的计算公式: = ,由于0!= ,所以 C = . (4)组合数的性质:C = ;C = + . 所有不同组合 1 1 基础自测 1.从1,2,3,4,5,6六个数字中,选出一个偶数和 两个奇数,组成一个没有重复数字的三位数,这样 的三位数共有() A.9个B.24个C.36个D.54个 解析 选
3、出符合题意的三个数有 =9种方法, 每三个数可排成 =6个三位数, 共有96=54个符合题意的三位数. D 2.已知1,2 X 1,2,3,4,5,满足这个关系式的集 合X共有() A.2个B.6个C.4个D.8个 解析 由题意知集合X中的元素1,2必取,另外, 从3,4,5中可以不取,取1个,取2个,取3个. 故有 =8(个). D 3.某中学要从4名男生和3名女生中选派4人担任奥 运会志愿者,若男生甲和女生乙不能同时参加, 则不同的选派方案共有( ) A.25种B.35种C.840种D.820种 解析 若选男生甲,则有 =10种不同的选法;同 理,选女生乙也有10种不同的选法;两人都不选有
4、 =5种不同的选法,所以共有25种不同的选派方案. A 4.(2009湖南理,5)从10名大学毕业生中选3人 担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没 有入选的不同选法的种数为() A.85B.56C.49D.28 解析 丙不入选的选法有 =84(种), 甲乙丙都不入选的选法有 =35(种). 所以甲、乙至少有一人入选,而丙不入选的选法 有84-35=49种. C 5.有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空 座位相邻的不同坐法有() A.36种B.48种C.72种D.96种 解析 恰有两个空位相邻,相当于两个空位与第 三个空位不相邻,先排三个人,然后插空.从而共 =72种排法. C
5、 题型一 排列问题 【例1】有3名男生、4名女生,在下列不同条件下, 求不同的排列方法总数. (1)选其中5人排成一排; (2)排成前后两排,前排3人,后排4人; (3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾; (4)全体排成一排,女生必须站在一起; (5)全体排成一排,男生互不相邻; (6)全体排成一排,甲、乙两人中间恰好有3人. 题型分类 深度剖析 思维启迪 无限制条件的排列问题,直接利用排列 数公式即可.但要看清是全排列还是选排列;有限 制条件的排列问题,常见类型是“在与不在”、“ 邻与不邻”问题,可分别用相应方法. 解 (1)从7个人中选5个人来排列, 有 =76543=2 520种. (
6、2)分两步完成,先选3人排在前排,有 种方法 ,余下4人排在后排,有 种方法,故共有 =5 040种.事实上,本小题即为7人排成一排的 全排列,无任何限制条件. (3)(优先法) 方法一 甲为特殊元素.先排甲,有5种方法;其 余6人有 种方法,故共有5 =3 600种. 方法二 排头与排尾为特殊位置.排头与排尾从非 甲的6个人中选2个排列,有 种方法,中间5个位 置由余下4人和甲进行全排列有 种方法,共有 =3 600种. (4)(捆绑法)将女生看成一个整体,与3名男生 在一起进行全排列,有 种方法,再将4名女生进 行全排列,也有 种方法,故共有 =576种. (5)(插空法)男生不相邻,而女
7、生不作要求, 所以应先排女生,有 种方法,再在女生之间及首 尾空出的5个空位中任选3个空位排男生,有 种方 法,故共有 =1 440种. (6)把甲、乙及中间3人看作一个整体,第一步先 排甲、乙两人有 种方法,再从剩下的5人中选3 人排到中间,有 种方法,最后把甲、乙及中间3 人看作一个整体,与剩余2人全排列,有 种方 法,故共有 =720种. 方法归纳:1: 排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题 ,某些元素“排”或“不排”在哪个位置上,某些元素“相 邻”或“不相邻”.对于这类问题在分析时,主要按“优先” 原则,即优先安排特殊元素或优先满足特殊位置. 2:解组合题时,常遇到“至多”、“至少
8、”问题,用直接法求解, 也可用间接法求解以减少运算量.当限制条件较多时,要恰当 分类,逐一满足. 3:排列、组合综合题目,一般遵循先分后排原则,将符合要求 的元素取出或进行分组,再对取出的元素或分好的组进行排 列.其中分组时,要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及 分类的标准. 4:在解排列、组合综合题目时,注意问题的转化,把不熟悉的 问题背景转化为熟悉的情形,如;排位置.分东西等问题。 知能迁移1 用0、1、2、3、4、5这六个数字,可以 组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位 数: (1)奇数;(2)偶数;(3)大于3 125的数. 解 (1)先排个位,再排首位,共有 =144(
9、个). (2)以0结尾的四位偶数有 个,以2或4结尾的四 位偶数有 个,则共有 =156(个). (3)要比3 125大,4、5作千位时有2 个,3作千 位,2、4、5作百位时有3 个,3作千位,1作百位 时有2 个,所以共有2 =162(个). 题型二 组合问题 【例2】 (12分)男运动员6名,女运动员4名,其中 男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各 有多少种选派方法? (1)男运动员3名,女运动员2名; (2)至少有1名女运动员; (3)队长中至少有1人参加; (4)既要有队长,又要有女运动员. 思维启迪 (1)分步.(2)可分类也可用间接法. (3)可分类也可用间接法.(4
10、)分类. 解 (1)第一步:选3名男运动员,有 种选法. 第二步:选2名女运动员,有 种选法. 共有 =120种选法. (2)方法一 至少1名女运动员包括以下几种情况: 1女4男,2女3男,3女2男,4女1男. 由分类加法计数原理可得总选法数为 =246种. 方法二 “至少1名女运动员”的反面为“全是男运 动员”可用间接法求解. 从10人中任选5人有 种选法,其中全是男运动员 的选法有 种. 所以“至少有1名女运动员”的选法为 =246 种. 6分 (3)方法一 可分类求解: “只有男队长”的选法为 ; “只有女队长”的选法为 ; “男、女队长都入选”的选法为 ; 所以共有2 + =196种选
11、法.9分 方法二 间接法: 从10人中任选5人有 种选法. 其中不选队长的方法有 种.所以“至少1名队长” 的选法为 - =196种. (4)当有女队长时,其他人任意选,共有 种选 法.不选女队长时,必选男队长,共有 种选法.其 中不含女运动员的选法有 种,所以不选女队长时 的选法共有 - 种选法. 所以既有队长又有女运动员的选法共有 + - =191种. 探究提高 解组合题时,常遇到“至多”、“至少 ”问题,可用直接法分类求解,也可用间接法求解 以减少运算量.当限制条件较多时,要恰当分类, 逐一满足. 知能迁移2 在7名男生5名女生中选取5人,分别求符 合下列条件的选法总数有多少种? (1)
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- 2011 高考 数学 复习 课件 10.2 排列 组合
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