[考研数学]北京航天航空大学线性代数7-1(a).ppt
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1、主要内容点播,一.向量空间的概念 二.子空间 向量空间的基与维数,(7-1)2,说明,一.向量空间的概念,定义1 设 为 维向量的集合,如果集合 非空, 且集合 对于加法及乘数两种运算封闭,那么就称 集合 为向量空间,集合 对于加法及乘数两种运算封闭指,例2 判别下列集合是否为向量空间.,解,解,定义2 设有向量空间 及 ,若向量空间 , 就说 是 的子空间,实例,二.子空间,设 是由 维向量所组成的向量空间,,三.向量空间的基与维数,定义3 设 是向量空间,如果 个向量 ,且满足,(1)只含有零向量的向量空间称为0维向量空间,因此它没有基,说明,(3)若向量组 是向量空间 的一 个基,则 可
2、表示为,(2)若把向量空间 看作向量组,那末 的基 就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的 秩.,四.向量的坐标, 基变换与坐标变换 书P250,将本小节中的“元素”改为“向量”即可,(一) 向量的坐标,定义 设V是数域K上的n维向量空间,是V的一组基底, 对任意V, 可由基底线性表出,则称有序数,为向量在基底,下的坐标, 记作,定理3.1 设1, 2, , n是向量空间V的一组基底, V, 则表达式,是唯一的(坐标的唯一性).,证明,设在基底1, 2, , n下有两种表达式,则,由1, 2, , n线性无关, 得,例2 若1, 2, , n是向量空间V的基底, 则,也是V中一组基底,证
3、明,只要证明1, 2, , n线性无关., 1, 2, , n线性无关,k1 1+k2 2+kn n=0只有零解.,代入 1, 2, , n的表达式, 得,(k1a11+k2a21+knan1) 1+ (k1a12+k2a22+knan2) 2,+ (k1a1n+k2a2n+knann) n=0,由 1, 2, , n线性无关, 则,注,例2给出了用已知基底构造其它基的方法.,2. 基变换与坐标变换,问题:同一元素在不同基底下的坐标不同, 坐标之间的关系如何?,此方程组只有零解系数行列式不为零,定义 设 1, 2, , n与1, 2, , n是n维向量空间V的两组基, 并且,令,称P为由基底
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