随机变量的数学期望4-1.ppt
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1、江汉大学文理学院,概率论与数理统计,2010年9月12月,数学教研室 梁幼鸣,027-85965056(Home),,15994278022(Mobil),随机变量的数字特征,第四章,1 随机变量的数学期望,退出,知识点、考点举要,一基本概念与基本结论,二基础算法与重要演算性质,连续型随机变量数学期望的求法,六个常用随机变量的数学期望,退出,随机变量的数学期望,随机变量函数的数学期望的求法,数学期望的算子演算性质,离散型随机变量数学期望的求法,范例、思考与练习,随机变量函数的数学期望及其一般算法,一,四,1 随机变量的数学期望,二,数学期望的定性与定量定义,退出,数学期望的算子演算性质,三,退
2、出,返回,1. 定性定义,随机变量 X 的平均取值称为其数学期望, 记为,随机变量X 对其平均取值以偏差平方的形式所给出的平均,一、数学期望的定性与定量定义,波动,称为 X 的方差,记为,亦即,方差实际上也是一种数学期望,是随机变量减其数学,期望的平方的数学期望. 用较为专业的术语讲,它是随机,变量的函数的数学期望.,因此,求随机变量平均取值以及随机变量对其平均取,值以偏差平方形式给出的平均波动问题,从本质上而言,,归根结底就是如何求随机变量及其函数的数学期望问题.,假设在 n 个考试成绩中, xi 分的有mi个 ( i = 1, 2, , k), 那么全部考分的平均分 = ?,x1m1 +
3、+ xkmk,平均分 =,n,平均值可以怎样算?,退出,上式表明,将各种不同考分 xi ( i = 1, 2, , k) 与其在全体考生中所占的百分比 fi 相乘后再相加 结果就是全部考分的平均分 !,一、数学期望的定性与定量定义,类似地可解释其还等于在整个平面上的重积分.,退出,返回,2. 随机变量数学期望 E ( X ) 的定量算法, 对离散型变量, 对连续型变量,或,或,【对连续变量求算公式的简短解释】,依概率密度的含义,连续随机变量在长为 dx 的区间上,因此,该随机变量在整,近似取值 x 的概率应等于,一、数学期望的定性与定量定义,个实轴上的平均取值就应等于前二者之乘积,在,整个实轴
4、上的全部累加之和,即应等于其在实轴上的积分,退出,返回,二、随机变量函数的数学期望及其一般算法,3. 六大常见分布的数学期望与分布参数的关系,运用数学期望 的定量算法可以证实,六大常见分布的数学期望与分布参数的关系如下表所示,退出,返回,*1. 随机变量的常见函数、数学期望及其名称,二、随机变量函数的数学期望及其一般算法,是 X 与Y 与各自数学期望之差的乘积的数学期望., k 阶原点矩,【例如】,恰是 X 自身的数学期望.,X 的一阶原点矩,是 X 平方的数学期望.,X 的二阶原点矩,X 的二阶中心矩,是 X 减其数学期望的平方的数学期望., k + l 阶混合中心矩, k 阶中心矩,X 的
5、二阶混合原点矩,是 X 与Y 乘积的数学期望.,X 的1+1阶混合中心矩, k + l 阶混合原点矩,退出,返回,定理一 设一元函数 g (x) 连续,则,当 X 是连续型变量且其一维概率密度为 时,当 X 是离散型变量且一维分布律为 时,定理二 设二元函数 g (x , y) 连续,则,当 (X, Y )是连续型变量且二维联合概率密度为 时,当 (X, Y ) 是离散型变量且二维分布律为 时,二、随机变量函数的数学期望及其一般算法,2. 函数数学期望的一般算法,退出,( 设 C 是常数 ),又当 X,Y 相互独立时,4),3),1),2),返回,三、数学期望的算子演算性质,【选证】,若X,Y
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