第8章控制系统的状态空间分析与综合.ppt
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1、第8章 控制系统的状态空间分析 与综合,8.1 控制系统的状态空间描述 8.1.1 状态空间的基本概念 (1)状态和状态变量 表征系统运动的信息称为状态,足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量称为状态变量。,(2)状态向量 把描述系统状态的n个状态变量x1(t),x2(t),xn(t)看作向量x(t) 的分量,则向量x(t) 称为n维状态向量,记作:,(3)状态空间 以n个状态变量作为坐标轴所构成n维空间称为状态空间。 (4)状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。 用图8.1所示的R-L-C网络说明如何用状态变量描述这一系统。,图8.1 R-L-C电路,(5)输出方
2、程 系统输出量与状态变量输入量的关系称为输出方程。 式(8.3)就是图8.1系统的输出方程,它的矩阵表示式为:,(8.3),或,或,(6)状态空间表达式 状态方程和输出方程的组合称为状态空间表达式。 设单输入-单输出线性定常连续系统,其状态变量为x1(t),x2(t),xn(t),则状态方程的一般形式为:,(8.4),用向量矩阵表示时的状态空间表达式则为:,(8.6),简写为:,因而多输入多输出系统状态空间表达式的矢量形式为:,(8.7),8.1.2 线性定常连续系统状态空间表达式的建立 (1)由系统结构图出发建立状态空间表达式 (2)由系统微分方程或传递函数出发建立状态空间表达式,1)传递函
3、数中没有零点时的实现 由图8.3,容易列出系统的状态空间表达式为:,(8.8),(8.9),图8.3 系统模拟结构图,写成矩阵形式,则为:,(8.10),简写为: 顺便指出,当A阵具有式(8.10)的形式时,称为友矩阵,友矩阵的特点是主对角线上方的元素均为1,最后一行的元素可取任意值,而其余元素均为零。,2)传递函数中有零点时的实现 相应的传递函数为:,(8.11),为了说明方便,又不失一般性,这里先从三阶微分方程出发,找出其实现规律,然后推广到n阶系统。 设待实现的系统传递函数为:,(8.12),图8.4 系统模拟结构图,(8.13),(8.14),从图8.5可以看出,输入函数的各阶导数 作
4、适当的等效移动,就可以用图8.6(a) 表示,只要0,1,2,3系数选择适当,从系统的输入输出看,二者是完全等效的。将综合点等效地移到前面,得到等效模拟结构图如图8.6(b)所示。,图8.5 系统模拟结构图,图8.6 系统模拟结构图,图8.6 系统模拟结构图,(8.15),(8.18),(8.19),(8.20),8.1.3 从状态空间表达式求传递函数 阵 设系统状态空间表达式为: 则系统传递函数矩阵表达式为:,(8.21),(8.22),8.1.4 状态空间表达式的线性变换及 规范化 (1)线性变换 设给定系统为,(8.23),线性变换是线性代数学内容,下面仅概括指出本书中常用的几种变换关系
5、。 1)化A为对角形 若A阵为任意形式且有n个互异实数特征值1,2,n,即|I - A|=0的根,则可由A的特征根直接写出对角阵,(8.25),(8.26),(8.27),(8.28),若A阵为友矩阵形式且有n个互异实数特征值1,2,n,则T阵是一个范德蒙德(Vandermonde)矩阵,为:,若A阵有q个实特征值1,其余(n-q)个为互异实数特征值,但在求解Api= i pi (i =1,2,q)时,仍有q个独立实特征向量p1, pq,则仍可使A化为对角阵 。,(8.29),2)化A为约当形 若A阵为任意形式且有q个实特征值1,其余(n q)个为互异实数特征值,但在求解Api =i pi (
6、i=1,2,q)时,只有一个独立实特征向量p1,则只能使A化为约当阵J,(8.30),(2)系统的并联型实现 已知系统的传递函数 1)具有互异根情况 式中1,2,n系统的特征根。,(8.33),(8.34),(8.36),(8.37),或,图8.7 并联型模拟结构图,2)具有重根的情况 具有图8.8所示的结构,除重根是取积分器串联的形式外,其余均为积分器并联。,(8.38),图8.8 并联型模拟结构图,8.1.5 离散时间系统的状态空间表 达式 相应的系统脉冲传递函数为:,(8.41),(8.42),离散时间系统的状态空间表达式:,8.2 线性定常系统状态方程的解 8.2.1 线性定常齐次状态
7、方程的解(自由解) 所谓系统的自由解,是指系统输入为零时,由初始状态引起的自由运动。状态方程为齐次状态方程:,(8.45),(8.45),(8.44),(8.43),定义,则,众所周知,纯量微分方程 称为指数函数,而向量微分方程的解在形式上与其是相似的,故把 称为矩阵指数函数。,8.2.2 状态转移矩阵 (1)状态转移矩阵的性质 性质1 或 性质2,(8.47),(8.48),性质3 或 性质4 对于状态转移矩阵,有: 或,(8.49),(8.50),性质5,(8.51),8.2.3 线性定常系统非齐次方程的解 现在讨论线性定常系统在控制作用u (t)作用下的强制运动。此时状态方程为非齐次矩阵
8、微分方程:,(8.52),当初始时刻为t0=0,初始状态为x (0) 时,其解为: 很明显,式(8.52)的解x (t)是由两部分组成:等式右边第一项表示由初始状态引起的自由运动,第二项表示由控制激励作用引起的强制运动。,(8.53),8.2.4 离散时间系统状态方程的解 离散时间状态方程有2种解法:递推法和z变换法。 线性定常离散时间系统的状态方程为:,(8.55),用迭代法解矩阵差分方程(8.55):,(8.56),8.2.5 连续时间状态空间表达式的离 散化 在以上假定情况下,对于连续时间的状态空间表达式:,将其离散化后,则得离散时间状态空间表达式为:,式中:,(8.57),(8.58)
9、,在采样周期T较小时,一般当其为系统最小时间常数的1/10左右时,离散化的状态方程可近似表示为:,即:,(8.59),8.3 线性定常系统的能控性和能 观性 8.3.1 能控性问题 (1)线性连续定常系统的能控性定义 线性连续定常系统:,(8.60),(2)能控性的判别 线性连续定常单输入系统: 其能控的充分必要条件是由A,b构成的能控性矩阵:,(8.62),(8.61),要使系统能控,则对任意给定的初始状态 x (t0),应能从式(8.66)解出0,1, ,n-1来,因此,必须保证: 的逆存在,亦即其秩必须等于n。,同理,可以证明,对于多输入系统: 其能控的充分必要条件是由A,B构成的能控性
10、矩阵:,(8.68),(8.67),8.3.2 能观性问题 (1)能观性定义 能观性表示的是输出y(t)反映状态矢量x(t)的能力。 (2)能观性的判别 线性连续定常系统:,其能观的充分必要条件是由A,C构成的能观性矩阵: 满秩,即rankN = n。否则当rankN n时,系统为不能观的。,(8.71),(8.72),8.3.3 能控标准型和能观标准型 (1)能控标准型 当系统的传递函数如式(8.74),则可直接写出其能控标准型:,(8.75),设系统的状态空间表达式为: 若系统是完全能控的,则存在线性非奇异变换:,(8.76),(8.77),8.4 对偶性原理 (1)线性定常系统的对偶关系
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