高考数学总复习精品课件(苏教版):第三单元第三节 对数与对数函数.ppt
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1、第三节 对数与对数函数,基础梳理,1. 对数概念 (1)定义:一般地,如果 ,那么b叫做以 ,记作 ,其中a叫做对数的 ,N 叫做 . (2)对数性质 没有对数,即 ; 1的对数为0,即 ; 底的对数等于1,即 .,以a为底N的对数,底数,真数,零和负数,N0,(3)对数恒等式: .,10为底的对数,lg N,(4)常用对数:通常将以 叫做常用对数,N的 常用对数 简记为 .,(5)自然对数: 称为 自然对数,N的自然对数 简记作 .,以无理数e=2.718 28为底的对数,2. 对数的运算性质 (1) = ; (2) = ; (3) = 其中a0,a1,M0,N0,nR.,-1,1,4. 对
2、数函数的定义:一般地,函数 叫做 对数函数,它的定义域为 ,值域为R.,(0,+),5. 对数函数的图象与性质,(0,+),R,(1,0),y0,y0,y0,y0,增函数,减函数,x轴,1,0,典例分析,题型一 对数的运算 【例1】求下列各式的值.,分析 关于对数运算的题目,往往需要利用对数的运算性质、对数 恒等式、换底公式等进行变形和求解。,(2)由题意可得x0,y0,x2y, 又 所以 解得x=4y(x=y舍去)。所以 所以,学后反思 (1)熟练掌握对数的运算性质、换底公式、对 数恒等式是进行化简、求值的关键,应用时务必要创造出 适合公式或性质应用的条件; (2)解问题(2)时要注意隐含在
3、题目中的条件:x2y0, 否则将导致 的值出错。对数问题首先注意真数大于零。,举一反三,解析,(2)根据对数的运算法则,原等式可化为,整理得 配方得,题型二 对数概念及运算性质的综合应用,【例2】若a,b,c是均不为零的实数,且. 求证:,分析 本题应利用对数与指数式的互化,将问题转化为对 数的运算.,证明 设,学后反思 本题主要考查了两点: (1)应用对数概念进行指数式与对数式的互化 (2)换底公式的应用: (a0,a1,N0,N1).,举一反三,2. 设x,y,zR+,且 (1)比较3x,4y,6z的大小; (2)求证:,解析: (1)令 ,则k1, ,k1, ,3x-4y0.同理4y-6
4、z0. 3x4y6z.,(2)证明:由(1)得,题型三 对数函数的图象与性质,【例3】方程 的实数解 的个数为.,分析 先将方程变形,在同一坐标系中分别画出函数 与的图像,然后观察交点的个数,交点 个数即为方程的个数。,解 由 得 由0-4. -2x-8, a-8 由 设,y=a (a-8) 由图像可知: 当a1时,方程有两个不等的实根, 当-8a0或a=1时,方程有一个实根.,举一反三,3. 方程 的实根的个数为_.,解析 在同一坐标系中作出函数 与 的图象,如图所示.观察可知共有两个不同交点.,答案: 2,【例4】 设00,a1,比较 的大小.,分析 本题有作差法与作商法两种思路:(1)若
5、m-n0,则 mn;(2)对于m0,n0,若 ,则mn.,解 方法一:0x1, 11+x2,01-x1.,方法二,学后反思 (1)本题差比时注意讨论a1与0a1两种情况, 依据对数函数单调性,合理去掉绝对值符号,然后判断函数值 与0的关系. (2)商比法注意要比较的两式均同号,作商与1比较.本题是含 有两绝对值的式子,先运用对数换底公式化简,然后去掉绝对 值符号,根据对数函数的性质比较与1的关系.,举一反三,4. 已知0xya1,则下列式子中正确是_.,解析:,题型四 对数函数性质的综合运用,【例5】(14分)已知 (1)求f(x)的定义域; (2)讨论函数f(x)的单调性.,分析 利用函数的
6、性质,结合指数函数、对数函数知识进 行求解.,解 (1)由 得 ,当a1时,x0;,当01时,f(x)的定义域为(0,+); 当01时,设 ,7 故 ,9 .10 故当a1时,f(x)在(0,+)上是增函数12 同理,当0a1时,f(x)在(-,0)上为增函数14 ,学后反思 (1)含参数的对数问题必须要注意对底数“1” 还是“1”的讨论; (2)讨论函数单调性时,应注意复合函数单调性“同增异 减”的原则.,举一反三,5. (2009南京模拟)已知函数 (a0,且a1). (1)求f(x)的定义域; (2)判断f(x)的奇偶性,并予以证明. (3)求使得f(x)0成立的的取值范围,解析: (1
7、)由题意知 ,解得函数f(x)的定义 域为(-1,1)。,(3)当a1时,有对数函数的单调性可知 而11时,x的取值范围为(-1,0); 当0a1时,x的取值范围为(0,1),易错警示,【例】 已知 上是x的减函数,求a的取值范围.,错解 是由 复合而成,且 a0, u=2-ax在0,1上是x的减函数, 由复合函数关系知 应为增函数 a1,错解分析 解题中虽考虑了对数函数与一次函数的复合关系, 却忽略了定义域的限制,单调区间应是定义域的某个子区间, 即函数应在0,1上有意义。,正解 是由 复合而成的, 且a0,u=2-ax在0,1上是x的减函数, 由复合函数关系知 应为减函数, a0 又当x0
8、,1时, 有意义,且 为减函数 当x=1时, 的最小值 即可 a2 综上可知,所求的取值范围是1a2,考点演练,10.设a,b,c均为正数,且 判断a,b,c的大小关系,解析: 方法一:如图,由函数,方法二:a0, 又,的图像知:0ab1c,11.已知过原点O的一条直线与函数 的图象交于A、 B两点,分别过A、B作y轴的平行线与函数 的图象交 于C、D两点. (1)求证:点C、D和原点O在同一直线上; (2)当BC平行于x轴时,求点A的坐标.,解析 (1)证明:设点A、B的横坐标分别为 . 由题设知 则点A、B的纵坐标分别为 .因为A、B在过点O的 直线上,所以 点C、D的坐标分别为,由于 所
9、以OC的斜率为 OD的斜率为 由此可知 即O、C、D在同一直线上.,(2)由BC平行于x轴,得 即 ,所以 , 代入 得 由 考虑 所以 ,于是点A的坐标为,12(2010潍坊质检)已知函数 是奇函数(a0且a1). (1)求m的值; (2)判断f(x)在区间(1,+)上的单调性并加以证明; (3)当a1,x(1, )时,f(x)的值域是(1, +),求a的值。,解析: (1)f(x)是奇函数, f(-x)=-f(x)在其定义域内恒成立 即 恒成立, m=-1或m=1(舍去),m=-1,(2)由(1)得 任取 令 ,则 ;,综上,当a1时,f(x)在(1, +)上是减函数; 当0a1时,f(x
10、)在(1,+)上是增函数。,(3)当a1时,f(x)= 在 上为减函数,要使f(x)在 上值域为(1,+),即 只需 在 恒成立,令 在 上是减函数, 所以 此时,第三节 等比数列,基础梳理,1. 等比数列的定义 一般地,如果一个数列 从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 公比,通常用字母q表示. 2. 等比数列的通项公式 一般地,对于等比数列an的第n项an,有公式an= a1qn-1 ,这就是等比数列an的通项公式,其中a1为首项,q为公比. 3. 等比中项 如果 a,G,b成等比数列 ,那么G叫做a与b的 等比中项.,4.
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