毕业论文---定积分的性质及其应用.doc
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1、新疆财经大学本科毕业论文题 目: 定积分的性质及其应用学 号:2005101339 学生姓名:帕提古丽.喀迪尔院 部:应用数学学院 专 业:应用数学 年 级:2005 级 指导教师姓名及职称:买买提热依木.玉努斯(讲师)完成日期:2010 年 5 月 14 日摘要牛顿,莱布尼兹以无穷思想为据,从不同的角度运用了定积分的思想方法创立了微积分,在这新的领域上定积分的思想和方法展现出了勃勃生机,为定积分思想的进一步完善奠定了坚实的基础。它的演变历程,是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应,是人类追求真理、追求理想,始终不渝地求实、创新的生动写照,定积分理论的建立,使数学摆脱了许多与
2、无穷有关的悖论的困扰,对于培养人的思维方法、品质,提高分析问题、解决问题方面有极好的促进作用。定积分是函数的一种特定结构总和式的极限。这种极限不仅是计算区域面积或度量几何体的数学工具,而且也是计算许多实际问题的重要工具,可以应用定积分来计算一些常见的几何量和物理量。本文主要讨论定积分的一些性质从而推出在经济学和其他领域的运用。通过几道常见的定积分证明例题,从不同角度分析、研究定积分的特点,归纳总结出构造辅助函数。利用定积分的一些公式、性质、定积分中值定理来解决了几何、物理、经济上的实际问题。定积分作为数学知识的基础 ,是学习经济学的必备知识 ,主要讨论了经济学中的应用,在几何,物理及其计算收入
3、、收入流、消费者剩余和生产者剩余并解释其经济意义,寻求收入流现值和收入流将来值的一系列策略。关键词:定积分、性质、定理、应用目录第一章 定积分21.1 问题的提出21.2.1变力所作的功31.2.2 定积分的定义41.2.3求平面图形的面积51.2.4牛顿莱布尼兹定理71.3定积分的基本性质91.3.1 积分中值定理12第二章 定积分的实际应用152.1定积分在几何方面的应用152.1.1立体的体积152.1.2旋转体体积问题162.2定积分在物理上的应用172.3定积分在经济上的应用182.3.1收入流182.3.2消费者剩余和生产者剩余20结论22致谢23参考文献24第一章 定积分定积分是
4、微积分中的重要内容,它是解决许多实际问题的重要工具。由于篇幅有限,这里只有定积分在平时计算中常用的几种性质,定理来解决实际问题。1.1 问题的提出1.曲边梯形的面积。 设闭区间上的连续函数,且。由曲线直线,以及轴所围成的平面图形(图1.1.1),成为曲边梯形。下面讨论曲边梯形的面积。图1.1.2 图1.1.1在初等数学里,圆面积是用一系列边数无限增多的内接(或外切)正多边形面积的极限来定义的。现在我们仍用类似的办法来求曲边梯形的面积。在区间内任取个分点,它们依次为 ,这些点把分割成个小区间 ,。再用直线,把曲边梯形分割成个小曲边梯形(图1.1.2)。在每个小区间 上任取一点,作以为高,为底的小
5、矩形。当分割较细密时,由于为连续函数,它在每个小区间上的值变化不大,从而可用这些小矩形的面积近似代替相应小曲边梯形的面积。于是,这个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积的近似值,即 (1)注意到(1)式右边的和式即依赖于对区间的分割,又与所有中间点的取法有关。可以想象,当分点无限增多,且对无限细分时,如果此和式与某一常数无限接近,而且与分点和中间点的选取无关,则就把此常数作为曲边梯形的面积1。1.2.1变力所作的功图1.2.1设质点受力的作用沿轴由点移动到点,并设处处平行于轴(图1.2.1)。如果为常力,则它对质点所作的功为。现在的问题是, 为变力,它连续依赖于质点所在位置的坐标,即,为一连续
6、函数,此时对质点所作的功又该如何计算?由假设为一连续函数,故在很小的一段位移区间上可以近似地看作常量。类似于求曲边梯形面积那样,把细分为个小区间,;并在每个小区间上任取一点,就有 ,。于是,质点从位移到时,力所作的功就近似等于,从而 (2)同样地,对作无限细分时,若(2)右边的和式与某一常数无限接近,则就把此常数定义作为变力作为的功1。1.2.2 定积分的定义设函数在上有定义,用分点将闭区间分成个小区间,每一个小区间长度为 ,在每个小区间上任取一点,作乘积,并作和式,记。当 无限增大且时,如果上述和式的极限存在,则称函数在区间上可积,并将此极限值称为函数在区间上的定积分,记为,即。由定积分的定
7、义可知,要求出定积分,关键是找出积分区间,写出被积表达式(或。更容易地看出被积表达式和积分区间写出被积表达式(或)。更容易地看出被积表达式 和积分区间1。1.2.3求平面图形的面积设连续曲线,轴及直线, 所围成的曲边梯形的面积为:(1)当时,由定积分几何意义可知,(图1)(2)当时,作出曲线关于轴的对称曲线,则曲线,轴及直线,围成曲边梯形的面积与相等(如图 1)即因此,一般的连续曲线, 轴及直线,所围成的曲边梯形的面积为由定积分的几何意义可知,由曲线及直线与轴所围成的平面图形的面积(如图 2)。(图2)这里表示为高,为底的小矩形的面积,它表示上区边梯形的面积的近似值,称为面积元素。在计算曲边梯
8、形的面积时,只要找出它的面积元素,并用定积分表示出来即可。这种方法称为微元分析法(元素分析法)。用微元分析法可以求一些平面图形的面积。常见的类型有两种:(图3)(1)(X型):由曲线,直线所围成的平面图形(图3)。其面积元素,面积为。(图4)(2)(Y型):由曲线,直线所围成的平面图形(图4)。其面积元素 ,面积为。下面我们看用定积分概念解决实际问题的四个步骤:利用定义求曲线梯形的面积可分四步: 分割 近似代替 求和 取极限。这样通过求曲边梯形面积得出定积分的定义。观察我们上述四步我们发现,第二步是最关键的,因为最后的被积表达式的形式就是在这一步被确定的,这只要把近似式中的变量记号改变一下即可
9、换为,换为,而第三,第四两步可以合并成一步。在平面直角坐表系中求图形面积,首先要看它是由几个曲边梯形的面积的和或差得来的,然后确定出积分区间。其被积表达式(或)就是面积元素,面积元素 都是一个矩形面积,这个矩形的宽度是(或),长是(或)。我们通过下面例题的分析,来领会这种思路2。例1 :用定积分定义计算。解:因为被积函数在区间上连续,所以在区间上可积(可积性的充分条件),既定义中和式的极限存在。下面我们就用特定的分法和特定取法求这个极限值。为计算方法方便起见,把区间分成 等分,分点为:,每个小区间的长度都是,在每个小区间 ,在每个小区间上都取,于是和式 当时,有,即。1.2.4牛顿莱布尼兹定理
10、由和式的极限求定积分的值是十分复杂的,在多数情况下是行不通的,而微积分学基本定理却为定积分的计算方法开避了新途径,我们有下面的定理:定理1:(牛顿莱布尼兹定理)设函数在上连续,且是在该区间上的一个原函数,则 证:由定理条件可知,(变上限积分)是在区间上的一个原函数,而也是在区间上的一个原函数,则 , , 是某一个常数,既,在上式两边令 , ,有 ,有。再令 ,就有 既 。于是称为牛顿莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式,这是数学分析里面非常重要的公式之一,它给出了定积分与不定积分之间的联系,通过它我们可以利用不定积分来计算定积分,而不必用求和式极限的方法来计算,这个公式是定积分计算的基
11、础,也是积分学的基本公式。该公式的重要性在于把定积分的计算问题转化为求被积函数的原函数在上下限的函数值之差的问题,从而为定积分的计算提供了一个简便而有效的方法,使积分学得到广泛的应用。设为对上任一分割.由在上有界,它在每个上存在上、下确界:作和 ,分别称为关于分割的上和与下和(或称达布上和与达布下和,统称达布和).任给,显然有. 定理2:函数在上可积的充要条件是:任给,总存在相应的一个分割,使得 设,称为在上的振幅,有必要时也记为.由于(或记为),因此可积推则又可改述如下:定理 函数在上可积的充要条件是:任给,总存在相应的某一分割,使得1.3定积分的基本性质我们平时求积分时,用和式的极限方法来
12、计算定积分不是很方便,在很多情况下在定积分概念的基础上,讨论它的各种性质,揭示定积分与微分的内在联系,寻找定积分的有效的,简便的计算方法。那我们看一下定积分的基本性质,由于篇幅有限,这里主要介绍定积分计算中常用的几种性质:性质1: 若,在上可积,则在上也可积,且。证: 性质2:若,在上可积,则 在 上也可积。证:, ,使 , , 因为 在 上可积,故 在 上有界,令,则 记 ,故在可积。但一般 。性质3:(积分区间的可加性)对,在可积的充要条件是:在和都可积,且 证略 。 例:设若,当时,得,当,求。解: 只有当时才有意义,而当或时本来是没有意义的。但为了运用上的方便,对它作如下规定:规定1
13、当时,令;规定2 当时,令.有了这个规定之后,对于的任何大小顺序来说性质三都能成立.例如:当时,只有在上可积,则有 性质4:(保号性)如果在区间上 且可积,则 。证:由于在上,因此的任一积分和都为非负.由在上可积,则有 。 性质5:(积分不等式性)如果在区间 上,则 。证:令,由性质1知道在上可积,且由性质4推得 .于是上式方程为成立。性质6:若 在 上可积,则 在 上也可积,且。证:分别记函数 与 在区间上的振幅为与,由于是 既 , 故。(注:性质6是可积的充分条件而不是必要条件。如,狄里克里函数来说,在 可积,在 上不一定可积。如:当 为有理数, . 当 为无理数,那。在 不可积,但 在
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