浅谈对称思想在数学教学中的应用毕业论文.doc
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1、i i 目目 录录 1 1 引言引言.1 2 2 对称思想的本质对称思想的本质1 3 3 数学的对称性数学的对称性2 3 3 .1.1 公式的对称性公式的对称性.2 3 3 .2.2 图形的对称性图形的对称性2 3 3 .3.3 对称式和轮换式对称式和轮换式.3 3 3 .4.4 对称的其他应用对称的其他应用.4 4 4 数学思维在对称思想中的应用数学思维在对称思想中的应用6 4.14.1 对称思想的简洁性对称思想的简洁性.6 4.24.2 对称思想的灵活性对称思想的灵活性.6 4.34.3 对称思想的广泛性对称思想的广泛性.7 5 5 数学能力在对称思想中的培养数学能力在对称思想中的培养8
2、5.15.1 数学判断能力在对称思想中的培养数学判断能力在对称思想中的培养.8 5.25.2 数学记忆能力在对称思想中的培养数学记忆能力在对称思想中的培养.8 5.35.3 数学转化能力在对称思想中的培养数学转化能力在对称思想中的培养.9 5.45.4 数学解题能力在对称思想中的培养数学解题能力在对称思想中的培养.9 6 6 结论结论10 参考文献参考文献12 致谢致谢.13 ii 浅谈对称思想在数学教学中的应用 数学系本数学系本 12021202 班班 李然李然 指导教师:杨树勍指导教师:杨树勍 摘 要:对称好像是世间万物的一种表象或形式,而且它已经成为各种学 科的一些表现形式和理论之一,我
3、们所讲的对称是解题的思想方法,因为它合 乎情理。应用好对称思想对初中生学习数学有很大的帮助,尤其是对学生的思 维品质、学习数学的能力的培养有极大的好处。对称既可以锻炼学生的思维、 又可以拓展学生的视野、丰富学生的想象能力、成就学生强大的数学头脑 关键词:数学能力,思维品质,对称思想。 On the application of symmetry thought in Mathematics Teaching Ran Yi Class 2, Mathematics Department Tutor: Yang ShuQing Abstract: symmetry seems to be all
4、things in the world to a representation or form, and it has become one of a variety of disciplines, some form of expression and the theory, we speak of symmetry is the thinking method of solving, because of its reasonable. Good use of symmetry thought of junior high school students mathematical lear
5、ning a great help, especially on students thinking quality, the cultivation of ability in mathematics learning have great benefits. Symmetry can exercise the students thinking, and can broaden the students horizons, enrich the students imagination, student achievement powerful mathematical mind. Key
6、 words: mathematical ability, thinking quality, symmetrical thought. 1 1 引言 当我们进入 21 世纪的时候,我们会很灵敏的感觉到,科学技术的广泛应用, 知识经济的渐渐起步,综合国力竞争的日渐激烈。这种竞争说到底是强大人才 的竞争。而对于这些强大人才的培养在于中国的高等教育。教育对于人的培养 应该是对人的思维能力的培养以及人的思考方法的培养,并且还包括人的价值 取向等等。 从古到今,教育家们在教育的事业中都十分重视启迪和开拓学生的思维。 中国古代一位举世闻名的教育家孔子传授学业时一直强调“愤”和“悱” 。前苏 联的教育家苏
7、霍姆林斯基说:“一人上学不为别的只为取得一份知识的行囊, 得到更多方面的知识和学习能力,学会思考。 ” 哲学的思想恰恰就能做到这一点,所以对于对称思想对思维的培养我们不 能小看。 2 对称思想的本质 对称思想的核心是对称变换。 广义地说, “对称变换”是一种在保持一定的不变形下的对称变换,有限次 的重复实行这一变换,可使对象回复到自身;一个集合在一定的对称变换下的 不变性就叫做“对称性” 。 几何中的轴(面)对称和中心对称是最直观的对称。平面图形绕其一定点 旋转 180的变换,也是常见的变换。如果旋转完成后的两个图形能够完全重 合,则说这两个图形是中心对称图形。下面我们通过列表来联系轴对称和中
8、心 对称的相同点与不同点。 轴对称中心对称 具有一个对称轴直线具有一个对称的中心点 图型沿着轴对折(反着转 180)图形绕着中心旋转 180 翻转后与翻转前的图形重合旋转后与旋转前的图形重合 代数中的对称有的还可借助与几何直观来理解,如实数与其相反数的对称, 复数与其共轭复数的对称;当然,也未必都要借助于几何直观,例如“对称多 项式” (其中任意两个变元对换下的不变形) , “轮换对称多项式” (其中各个变 2 元轮换下的不变形) 。 也可把函数的周期性看成“对称性” ,因为周期函数的图像是无限延伸的曲 线,在一定的平移下(平移若干最小正整周期)可重合于自身,从而表现出 “整体不变性” 。 我
9、们还可把两个命题间的“对偶关系”理解为对称。因为互为对偶的命题 间具有结构上的不变关系。例如集合运算中的德摩根律,它就有所谓的两种 对称形式:和;在几何学中还有“平面对偶”和AAAA “空间对偶”的命题。 还有一种对偶是问题间的对偶。例如数学规划问题,即“在遵循一定的约 束条件下使目标函数取最大(小)值”的问题,其对偶问题的构成法为:令原 命题中目标函数取定值作为约束条件(之一) ,而把原问题中的约束条件中的某 个量作为目标函数,使这个目标函数取最小(大)值。例如若原问题为“已知 矩形周长为 p,求使矩形面积 S 最大时的边长” ,则其对偶问题是“已知矩形面 积为 S,求使矩形周长 p 最小时
10、的边长” 。这样构成互为对偶的问题,它们的解 是相同的,它们也具有结构上的对称性。 对称思想说的通俗易懂些就是数学中的一种美学思想,这种思想在解析几 何内容中显得及其突出。 3 数学的对称性 3 3 .1.1 公式的对称性公式的对称性 在数学公式中,有很多字母,它们是对称的且地位是平等的。 例如: Cabbac babbaaba bababa cos2 33)( 2)( 222 32233 222 在这里 a 和 b 互换时,等式仍然是成立的。 3 3 .2.2 图形的对称性图形的对称性 等腰三角形、菱形、正方形、平行四边形、抛物线、圆、等等,它们都是 对称的几何图形。 圆,它有一个对称中心圆
11、心,有无数条对称轴过圆心的每一条线 均是,所以圆是一个特殊的几何图形。其实,像代数式求值、数列求和、共轭 3 根式以及共轭复数等,都是利用对称的思想来解决数学问题的。下面就以圆为 例。 一个圆桌面和相同硬币若干个,甲、乙二人分别依次在圆桌面上放硬币 (甲先放乙后放) ,规定谁最后摆不下硬币,谁就被视为输的一方,请问:甲、 乙双方谁输谁赢呢? 如果仔细一点的话,我们就能从已知条件中得到答案,已知我们的桌面是 圆的,利用圆的对称性,甲胜是必然的。因为,圆心是对称中心,甲首先把第 一枚硬币放在圆心的位置上,然后,无论乙把第二枚硬币放在任何位置,甲都 可以把第三枚硬币放在与第二枚硬币相对称的位置,以此
12、反复,最终乙会以失 败告终。 例:有一个正方形,它的边长为 8,点 M 在 DC 边上,DM=2,点 N 为 AC 上 的一动点,问:DN+MN 的最小值为多少? AD BC N M M 解:以 AC 为对称轴,作点 M 的对称点,连接,则,连 M MNMNNM 接,则,MDMDMNDNMNDN 的最小值就为的长MNDN MD 1010068 22 MD 这是一道很简单的问题,但是,如果想不到对称,那么就很难做出令我们 欣喜的正确的结果。 3 3 .3.3 对称式和轮换式对称式和轮换式 如果把代数式中任意两个字母对调后,代数式仍保持不变,则这样的代数 式就称为对称代数式即对称式。 4 如: 2
13、23223 233yxyxyxyyxxzyx 如果代数式中把含字母项顺序轮换后,代数式仍保持你变,则这样的代数 式就称为轮换对称式即轮换式。 如: 222 zyx (1)对于曲面积分,积分曲面为 ,如果将函数0zyxu, 中的换成后仍等于 0,也就是积分0zyxu,zyx,xzy,xzyu, 曲面的方程没有变,那么在这个曲面上的积分, SSdxzyfdzyxf, 如果将函数中的 x,y,z 换成 y,x,z 后,那么0zyxu,0zxyu, 在这个曲面上的积分,如果将函数 SSdzxyfdzyxf, 中的 x,y,z 换成 z,x,y 后,那么在这个曲面0zyxu,0yxzu, 上的积分,同样
14、可以进行多种其它形式的变换。 SSdyxzfdzyxf, (2)对于第二类曲面积分也只是将 dxdy 同时变换即可。例如,将函数 中的换成后=0,那么在这个曲面上0zyxu,zyx,xzy,xzyu, 的积分,同时,下面这两个积分也是等价 dydzxzyfdxdyzyxf, 的, dzdxxzyfdydzzyxf, dxdyxzyfdzdxzyxf, (3)将(1)中积分曲面的 z 去掉就变成了曲线积分,满足轮换对称性, 积分曲线为,如果将函数中的 x,y 换成 y,x 后仍满足0yxu,0yxu, ,那么在这个曲线上的积分,事实上,0xyu, SSdxyfdyxf, 若将函数中的 x,y 换
15、成 y,x 后仍满足,则意味着积分0yxu,0xyu, 曲线关于直线 y=x 对称。第二类曲线积分与(2)中的结论相同。 (4)二重积分和三重积分都与(1)的解释类似,同样也是看积分区域, 将函数的 x,y,z 变换顺序就是相当于将坐标轴重新定义,积分区间没有改变, 于是被积函数作相应的变换后,积分值不发生变化。 5 3 3 .4.4 对称的其他应用对称的其他应用 例 1:(1)在 2008 年 8 月的日历中(如图一) ,任意地从一数列中圈出相 邻的三个数,假设中间的一个数为,那么用含有的代数式来表示这三位数aa (从大到小排列)分别为( ) (2)将连续的自然数从 1 到 2008 按照图
16、中的方式组成为一个长方形的阵 列,若用一个正方形的框圈出 16 个数,那么这个方框中的 16 个数相加的和是 ( ) 在(图二)中,要使这方框中的 16 个数的和分别等于 2000、2008,是否 有可能呢?若有可能,求出此方框的 16 个数之和的最大值和最小值;若不可能, 请说明理由。 六 日 一 二 三 四 五 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 8 9 10 11 12 13 14 4 5 6 7 8 9 10 15 16 17 18 19 20 21 11 12 13 14 15 16 17 22 23 24 25 26 27 28 18 19 20 21 22 23 24 25
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- 浅谈 对称 思想 数学 教学 中的 应用 毕业论文
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