2020版数学人教B版必修5学案:第二章 专题突破三 Word版含解析.pdf
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1、专题突破三 数列通项公式的求法专题突破三 数列通项公式的求法 求数列的通项公式, 是数列问题中的一类重要题型, 在数列学习和考试中占有很重要的位置, 本专题就来谈谈数列通项公式的求法. 一、通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式 例 1 由数列的前 n 项,写出通项公式: (1)3,5,3,5,3,5,; (2) ,; 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 (3)2, , , ,; 5 2 13 4 33 8 81 16 (4) , , , ,. 1 2 1 6 1 12 1 20 1 30 解 (1)这个数列前 6 项构成一个摆动数列,奇数项为 3,偶数项为 5.所以它的一个通项公式 为
2、 an4(1)n,nN. (2)数列中的项以分数形式出现, 分子为项数, 分母比分子大 1, 所以它的一个通项公式为 an ,nN. n n1 (3)数列可化为 11,2 ,3 ,4 ,5, 1 2 1 4 1 8 1 16 所以它的一个通项公式为 ann,nN. 1 2n - 1 (4)数列可化为, 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 5 6 所以它的一个通项公式为 an,nN. 1 nn1 反思感悟 这类数列通常是由基本数列如等差数列、等比数列通过加减乘除运算得到,故解 决这类问题可以根据所给数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否摆动数列)联 想基本数列,再考察它
3、与基本数列的关系需要注意的是,对于无穷数列,利用前若干项归 纳出的通项公式属于“猜想” ,而且表达式不一定唯一 跟踪训练 1 由数列的前几项,写出通项公式: (1)1,7,13,19,25,; (2) , , ,; 1 4 3 7 1 2 7 13 9 16 (3)1, , ,. 8 5 15 7 24 9 解 (1)数列每一项的绝对值构成一个以 1 为首项,6 为公差的等差数列,且奇数项为正,偶 数项为负,所以它的一个通项公式为 an(1)n+1(6n5),nN. (2)数列化为 , , , , 分子, 分母分别构成等差数列, 所以它的一个通项公式为 an 1 4 3 7 5 10 7 13
4、 9 16 ,nN. 2n1 3n1 (3)数列化为, 221 3 321 5 421 7 521 9 所以数列的一个通项公式为 an(1)n+1,nN. n121 2n1 二、利用递推公式求通项公式 命题角度 1 累加、累乘 例 2 (1)数列an满足 a11,对任意的 nN都有 an1a1ann,求通项公式; (2)已知数列an满足 a1 ,an1an,求 an. 2 3 n n1 解 (1)an1ann1,an1ann1, 即 a2a12, a3a23, anan1n(n2) 等式两边同时相加得 ana1234 n(n2) 即 ana1234n1234n. nn1 2 又 a11 也适合
5、上式,an,nN. nn1 2 (2)由条件知,分别令 n1,2,3,n1, an1 an n n1 代入上式得(n1)个等式,累乘,即 (n2) a2 a1 a3 a2 a4 a3 an an1 1 2 2 3 3 4 n1 n ,又a1 ,an. an a1 1 n 2 3 2 3n 又 a1 也适合上式,an,nN. 2 3 2 3n 反思感悟 形如 an1anf(n)的递推公式求通项可以使用叠加法,步骤如下: 第一步 将递推公式写成 an1anf(n); 第二步 当 n2 时,依次写出 anan1,a2a1,并将它们叠加起来; 第三步 得到 ana1的值,解出 an; 第四步 检验 a
6、1是否满足所求通项公式,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式叠 乘法类似 跟踪训练 2 在数列an中,a11,anan1n1(n2,3,4,),求an的通项公式 解 当 n1 时,a11, 当 n2 时,Error!这 n1 个等式累加得, ana112(n1), nn1 2 故 ana1且 a11 也满足该式, nn1 2 n2n2 2 an(nN) n2n2 2 命题角度 2 构造等差(比)数列 例 3 已知数列an满足 an13an2,且 a11,则 an_. 答案 23n-11 解析 设 an1A3(anA),化简得 an13an2A. 又 an13an2,2A2,即 A1. an
7、113(an1),即3. an11 an1 数列an1是等比数列,首项为 a112,公比为 3. 则 an123n-1,即 an23n-11. 反思感悟 形如 an1panq(其中 p, q 为常数, 且 pq(p1)0)可用待定系数法求得通项公 式,步骤如下: 第一步 假设递推公式可改写为 an1tp(ant); 第二步 由待定系数法,解得 t; q p1 第三步 写出数列的通项公式; a n q p1 第四步 写出数列an通项公式 跟踪训练 3 已知数列an满足 an12an35n,a16,求数列an的通项公式 解 设 an15n+12(an5n), 将 an12an35n代入式, 得 2
8、an35n5n+12an25n, 等式两边消去 2an,得 35n5n+125n, 两边除以 5n,得 352,则 1, 代入式得 an15n+12(an5n) 由 a1516510 及式得 an5n0, 则2, an15n + 1 an5n 则数列an5n是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, 则 an5n2n-1,故 an2n-15n(nN) 命题角度 3 预设阶梯转化为等差(比)数列 例 4 在数列an中,a12,an14an3n1,nN. (1)证明:数列ann是等比数列; (2)求数列an的通项公式 (1)证明 由 an14an3n1, 得 an1(n1)4(ann),nN. 因为
9、 a1110,所以 ann0,所以4, an1n1 ann 所以数列ann是首项为 1,公比为 4 的等比数列 (2)解 由(1),可知 ann4n-1,nN, 于是数列an的通项公式为 an4n-1n,nN. 反思感悟 课程标准对递推公式要求不高,故对递推公式的考查也比较简单,一般先构造好 等差(比)数列让学者证明,再在此基础上求出通项公式,故同学们不必在此处挖掘过深 跟踪训练 4 在数列an中,a11,3anan1anan10(n2,nN) (1)证明:数列是等差数列; 1 an (2)求数列an的通项公式 (1)证明 由 3anan1anan10(n2), 整理得3(n2), 1 an
10、1 an1 所以数列是以 1 为首项,3 为公差的等差数列 1 an (2)解 由(1)可得13(n1)3n2, 1 an 所以 an,nN. 1 3n2 三、利用前 n 项和 Sn与 an 的关系求通项公式 例 5 已知数列an的前 n 项和为 Sn,若 Sn2an4,nN,则 an等于( ) A2n+1 B2n C2n-1 D2n-2 答案 A 解析 因为 Sn2an4,所以 n2 时,Sn-12an-14,两式相减可得 SnSn12an2an1, 即 an2an2an-1,整理得 an2an1,因为 S1a12a14,即 a14,所以2.所以数 an an1 列an是首项为 4,公比为
11、2 的等比数列,则 an42n-12n+1,故选 A. 反思感悟 已知 Snf(an)或 Snf(n)的解题步骤: 第一步 利用 Sn满足条件 p,写出当 n2 时,Sn1的表达式; 第二步 利用 anSnSn1(n2),求出 an或者转化为 an的递推公式的形式; 第三步 若求出 n2 时的an的通项公式,则根据 a1S1求出 a1,并代入 n2 时的an的 通项公式进行验证,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式如果求出的是an的递 推公式,则问题化归为例 3 形式的问题 跟踪训练 5 在数列an中,a11,a12a23a3nanan1(nN),求数列an n1 2 的通项公式 an.
12、解 由 a12a23a3nanan1,得 n1 2 当 n2 时,a12a23a3(n1)an1 an, n 2 两式作差得 nanan1 an, n1 2 n 2 得(n1)an13nan(n2), 即数列nan从第二项起是公比为3的等比数列, 且a11, a21, 于是2a22, 故当n2时, nan 23n-2. 于是 anError! 1已知数列的前 4 项为 2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项不可能是( ) Aan(1)n-11 BanError! Can2sin n 2 Dancos(n1)1 答案 C 解析 对 n1,2,3,4 进行验证,知 an2sin 不合题意,故选 C
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