2020版数学人教B版选修2-1学案:第三章 3.1.4 空间向量的直角坐标运算 Word版含解析.pdf
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1、3.1.4 空间向量的直角坐标运算 空间向量的直角坐标运算 学习目标 1.了解空间向量坐标的定义.2.掌握空间向量运算的坐标表示.3.能够利用坐标运 算来求空间向量的长度与夹角 知识点一 空间向量的坐标表示 1空间直角坐标系及空间向量的坐标 建立空间直角坐标系 Oxyz,分别沿 x 轴,y 轴,z 轴的正方向引单位向量 i,j,k,这三个互 相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底i,j,k,这个基底叫做单位正交基底单位向 量 i,j,k 都叫做坐标向量 2空间向量的坐标 在空间直角坐标系中, 已知任一向量 a, 根据空间向量分解定理, 存在唯一实数组(a1, a2, a3), 使 aa1ia2
2、ja3k, a1i, a2j, a3k 分别为向量 a 在 i, j, k 方向上的分向量, 有序实数组(a1, a2, a3) 叫做向量 a 在此直角坐标系中的坐标上式可简记作 a(a1,a2,a3) 知识点二 空间向量的坐标运算 空间向量 a,b,其坐标形式为 a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3). 向量运算向量表示坐标表示 加法ab(a1b1,a2b2,a3b3) 减法ab(a1b1,a2b2,a3b3) 数乘a(a1,a2,a3) 数量积aba1b1a2b2a3b3 知识点三 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设 a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3),则 满足条件 名
3、称 向量表示形式坐标表示形式 abab(R)a1b1,a2b2,a3b3(R) abab0a1b1a2b2a3b30 模|a| aa|a| a2 1a2 2a2 3 夹角cosa,b ab |a|b| cosa, b a1b1a2b2a3b3 a2 1a2 2a2 3b2 1b2 2b2 3 1若 axe1ye2ze3,则 a 的坐标是(x,y,z)( ) 2若向量(x,y,z),则点 B 的坐标是(x,y,z)( )AB 3若点 A 的坐标为(x,y,z),则(x,y,z)( )OA 4设 a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2)且 b0,则 ab .( ) x1 x2 y1 y2 z
4、1 z2 5四边形 ABCD 是平行四边形,则向量与的坐标相同( )AB DC 题型一 空间向量的坐标表示与运算 命题角度 1 空间向量的坐标表示 例 1 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCDABCD中,E,F,G 分别为棱 DD, DC,BC 的中点,以,为基底,求下列向量的坐标AB AD AA (1), ;AE AG AF (2),.EF EG DG 解 (1),AE AD DE AD 1 2DD AD 1 2AA (0,1, 1 2) AG AB BG AB 1 2AD , (1, 1 2,0) .AF AA AD DF AA AD 1 2AB ( 1 2,1,1) (2)EF AF
5、AE (AA AD 1 2AB ) , (AD 1 2AA ) 1 2AA 1 2AB ( 1 2,0, 1 2) EG AG AE (AB 1 2AD ) (AD 1 2AA ) ,AB 1 2AD 1 2AA (1, 1 2, 1 2) DG AG AD AB 1 2AD AD .AB 1 2AD (1, 1 2,0) 引申探究 本例中,若以,为基底,试写出,的坐标DA DC DD AE AG EF 解 ,AE AD DE DA 1 2DD (1,0, 1 2) AG AB BG DC ( 1 2DA ) , 1 2DA DC ( 1 2,1,0) .EF 1 2DD 1 2DC (0,
6、1 2, 1 2) 反思感悟 用坐标表示空间向量的步骤 跟踪训练 1 设正四棱锥 S-P1P2P3P4的所有棱长均为 2, 建立适当的空间直角坐标系, 求,SP1 的坐标P2P3 解 如图所示, 建立空间直角坐标系, 其中 O 为底面正方形的中心, P1P2y 轴, P1P4x 轴, SO 在 z 轴上 |P1P2|2,而 P1,P2,P3,P4均在 xOy 平面上, P1(1,1,0),P2(1,1,0) 在 xOy 平面内, P3与 P1关于原点 O 对称, P4与 P2关于原点 O 对称, P3(1, 1,0), P4(1, 1,0) 又|SP1|2,|OP1|,2 在 RtSOP1中,
7、|SO|,S(0,0,)22 (1,1,),SP1 OP1 OS 2 (0,2,0)P2P3 OP3 OP2 命题角度 2 空间向量的坐标运算 例 2 已知 a(1,2,1),ab(1,2,1),则 b 等于( ) A(2,4,2) B(2,4,2) C(2,0,2) D(2,1,3) 答案 A 解析 依题意,得 ba(1,2,1)a(1,2,1)2(1,2,1)(2,4,2) 反思感悟 关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算 (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量坐标形式设出来,然后通过建立方程组,解方程求出其
8、坐标 跟踪训练 2 若向量 a(1,1,x),b(1,2,1),c(1,1,1),且满足条件(ca)(2b)2,则 x _. 答案 2 解析 由题意,得 ca(0,0,1x),2b(2,4,2), 故(ca)(2b)2(1x)2,解得 x2. 题型二 空间向量平行、垂直的坐标表示 例 3 已知空间三点 A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4),设 a,b.AB AC (1)若|c|3,c,求 c;BC (2)若 kab 与 ka2b 互相垂直,求 k. 解 (1)因为(2,1,2),且 c,BC BC 所以设 c(2,2),BC 得|c|3|3,222 2 2 解得 1.即 c(2
9、,1,2)或 c(2,1,2) (2)因为 a(1,1,0),b(1,0,2),AB AC 所以 kab(k1,k,2),ka2b(k2,k,4) 又因为(kab)(ka2b),所以(kab)(ka2b)0. 即(k1,k,2)(k2,k,4)2k2k100. 解得 k2 或 k ,故所求 k 的值为 2 或 . 5 2 5 2 引申探究 若将本例(2)中改为“若 kab 与 ka2b 互相垂直” ,求 k 的值 解 由题意知 kab(k1,k,2), ka2b(k2,k,4), (kab)(ka2b), (kab)(ka2b)0, 即(k1)(k2)k280,解得 k2 或 k , 5 2
10、故所求 k 的值为2 或 . 5 2 反思感悟 (1)平行与垂直的判断 应用向量的方法判定两直线平行,只需判断两直线的方向向量是否共线 判断两直线是否垂直,关键是判断两直线的方向向量是否垂直,即判断两向量的数量积是 否为 0. (2)平行与垂直的应用 适当引入参数(比如向量 a,b 平行,可设 ab),建立关于参数的方程 选择坐标形式,以达到简化运算的目的 跟踪训练 3 正方体 ABCDA1B1C1D1中,E 是棱 D1D 的中点,P,Q 分别为线段 B1D1,BD 上的点,且 3,若 PQAE,求 的值B1P PD1 BD DQ 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 解 如
11、图所示,以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空 间直角坐标系 Dxyz, 设正方体棱长为 1, 则 A(1,0,0), E, B(1,1,0), B1(1,1,1), D1(0,0,1), (0,0, 1 2) 由题意,可设点 P 的坐标为(a,a,1), 因为 3,B1P PD1 所以 3(a1,a1,0)(a,a,0), 所以 3a3a,解得 a , 3 4 所以点 P 的坐标为. ( 3 4, 3 4,1) 由题意可设点 Q 的坐标为(b,b,0), 因为 PQAE,所以0,PQ AE 所以0, (b 3 4,b 3 4,1) (1,0, 1
12、 2) 即 0, (b 3 4) 1 2 解得 b ,所以点 Q 的坐标为. 1 4 ( 1 4, 1 4,0) 因为,所以(1,1,0),BD DQ ( 1 4, 1 4,0) 所以 1,故 4. 4 题型三 空间向量的夹角与长度的计算 例 4 棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G 分别是 DD1,BD,BB1的中点 (1)求证:EFCF; (2)求与所成角的余弦值;EF CG (3)求 CE 的长 解 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz,则 D(0,0,0),E,C(0,1,0), (0,0, 1 2) F,G. ( 1 2, 1 2,0) (1,1, 1 2
13、) 所以, ,.EF ( 1 2, 1 2, 1 2) CF ( 1 2, 1 2,0) CG (1,0, 1 2) CE (0,1, 1 2) (1)证明 因为 00,所以,即 EFCF.EF CF 1 2 1 2 1 2 ( 1 2) ( 1 2) EF CF (2)解 因为 1 0 ,EF CG 1 2 1 2 ( 1 2) 1 2 1 4 |,EF ( 1 2) 2(1 2) 2(1 2) 2 3 2 |,CG 1202(1 2) 2 5 2 所以 cos,.EF CG EF CG |EF |CG | 1 4 3 2 5 2 15 15 (3)解 |CE|.CE 0212(1 2) 2
14、 5 2 反思感悟 通过分析几何体的结构特征, 建立适当的坐标系, 使尽可能多的点落在坐标轴上, 以便写点的坐标时便捷 建立坐标系后, 写出相关点的坐标, 然后再写出相应向量的坐标表示, 把向量坐标化,然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题 跟踪训练 4 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,DAB60,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,PO平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成的角为 60. (1)求四棱锥 PABCD 的体积; (2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值 解 (1)四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形,且
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