【名校精品】中考数学:专题5:方程(组)应用探讨.doc
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1、名校精品资料数学【中考攻略】专题5:方程(组)应用探讨初中数学中列方程(组)解应用题是一项重要内容,也是中考中与不等式(组)的应用二选一(或同题)的必考内容。初中阶段主要包括一元一次、二次方程,分式方程,二元一次方程组(有些地区还有无理方程和可化为二元一次方程的高次方程组)。它们应用的基本步骤是相同的,基本步骤为:审(审题);找(找出题中的已知量、未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系);设(设定未知数,包括直接未知数或间接未知数);表(用所设的未知数的代数式表示其他的相关量);列(列方程(组);解(解方程(组);验(检验解的有效性和实际意义的符合性);答(回答题问)。它们的应用包括(1)行程
2、问题;(2)工程问题;(3)溶度问题;(4)增长率问题;(5)销售利润和存贷问题;(6)比例和调配(分配)问题;(7)数字问题;(8)和差倍分问题;(9)几何问题;(10)分段问题;(11)规律探究问题;(12)不定方程问题;(13)在函数问题中的应用问题。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。一、行程问题解题指导: (1)基本量是:路程、速度和时间。基本关系是:路程= 速度时间;时间=;速度=。 (2)基本类型:相遇问题;相背问题;追及问题;行船(风速)问题;环形跑道问题等。(3)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系,一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图
3、来分析,理解行程问题。在不同的问题中,相等关系是灵活多变的。如相遇问题中多以路程作相等关系,而对有先后顺序的问题却通常以时间作相等关系,在行船(风速)问题中很多时候还用速度作相等关系。行船(风速)问题是行程问题中的一种特殊情况,其速度在不同的条件下会发生变化:顺水(风)速度=静水(无风)速度+水流速度(风速);逆水(风)速度=静水(无风)速度水流速度(风速)。由此可得到行船(风速)问题中一个重要等量关系:顺水(风)速度水流速度(风速)逆水(风)速度+水流速度(风速)静水(无风)速度。典型例题:例1.(2012宁夏区3分)小颖家离学校1200米,其中有一段为上坡路,另一段为下坡路.她去学校共用了
4、16分钟.假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时,下坡路的平均速度是5千米/时.若设小颖上坡用了x分钟,下坡用了y分钟,根据题意可列方程组为【 】 A B C D【答案】B。【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组。【分析】要列方程,首先要根据题意找出存在的等量关系。本题等量关系为:上坡用的时间上坡的速度下坡用的时间下坡速度=1200,上坡用的时间下坡用的时间=16。把相关数值代入(注意单位的通一),得。故选B。例2.(2012浙江台州4分)小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事,然后乘出租车返回,出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时,回来时路上所花时间比去时节省了,设公共汽车的平均速度
5、为x千米/时,则下面列出的方程中正确的是【 】A B C D 【答案】A。【考点】方程的应用(行程问题)。【分析】方程的应用解题关键是找出等量关系,列出方程求解。本题只要列出方程即可。由题设公共汽车的平均速度为x千米/时,则根据出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时得出租车的平均速度为x20千米/时。等量关系为:回来时路上所花时间比去时节省了,即 回来时路上所花时间是去时路上所花时间的 = 故选A。例3.(2012四川内江3分)甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同,已知乙车每小时比甲车多行驶15千米,设甲车的速度为千米/小时,依据题意列方程正确的是【 】 A. B. C. D. 【
6、答案】C。【考点】由实际问题抽象出方程(行程问题)。【分析】甲车的速度为千米/小时,则乙甲车的速度为千米/小时甲车行驶30千米的时间为,乙车行驶40千米的时间为, 根据甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同得。故选C。例5. (2012江苏宿迁10分)某学校组织学生乘汽车去自然保护区野营,先以60km/h的速度走平路,后又以30km/h的速度爬坡,共用了6.5h;原路返回时,汽车以40km/h的速度下坡,又以50km/h的速度走平路,共用了6 h。问平路和坡路各有多远?【答案】解:设平路有x km ,坡路有y km,根据题意,得 ,解得。 答:平路有150 km ,坡路有120 km。
7、【考点】二元一次方程组的应用(行程问题)。【分析】方程(组)的应用解题关键是找出等量关系,列出方程求解。本题等量关系为: (1)以60km/h的速度走平路的时间以30km/h的速度爬坡的时间=6.5 h; (2)以40km/h的速度下坡的时间以50km/h的速度走平路的时间=6 h。例6. (2012辽宁丹东10分)暴雨过后,某地遭遇山体滑坡,武警总队派出一队武警战士前往抢险. 半小时后,第二队前去支援,平均速度是第一队的1.5倍,结果两队同时到达已知抢险队的出发地与灾区的距离为90千米,两队所行路线相同,问两队的平均速度分别是多少?【答案】解:设第一队的平均速度是x千米/时,则第二队的平均速
8、度是1.5x千米/时根据题意,得:,解这个方程,得x=60。经检验,x=60是所列方程的根。1.5x=1.560=90。答:第一队的平均速度是60千米/时,第二队的平均速度是90千米/时。【考点】分式方程的应用。【分析】设第一队的平均速度是x千米/时,则第二队的平均速度是1.5x千米/时根据半小时后,第二队前去支援,结果两队同时到达,即第一队与第二队所用时间的差是小时,即可列方程求解。练习题:1. (2012辽宁本溪3分)随着生活水平的提高,小林家购置了私家车,这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟,现已知小林家距学校8千米,乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍,
9、若设乘公交车平均每小时走x千米,根据题意可列方程为【 】 A、 B、 C、 D、2. (2012山东滨州3分)李明同学早上骑自行车上学,中途因道路施工步行一段路,到学校共用时15分钟他骑自行车的平均速度是250米/分钟,步行的平均速度是80米/分钟他家离学校的距离是2900米如果他骑车和步行的时间分别为分钟,列出的方程是【 】ABCD3. (2012辽宁鞍山3分) A、B两地相距10千米,甲、乙二人同时从A地出发去B地,甲的速度是乙的速度的3倍,结果甲比乙早到小时设乙的速度为x千米/时,可列方程为 4. (2012湖北十堰8分)一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地,按原计划的速度匀速行驶6
10、0千米后,再以原来速度的1.5倍匀速行驶,结果比原计划提前40分钟到达目的地,求原计划的行驶速度5. (2012辽宁锦州10分)某部队要进行一次急行军训练,路程为32km.大部队先行,出发1小时后,由特种兵组成的突击小队才出发,结果比大部队提前20分钟到达目的地.已知突击小队的行进速度是大部队的1.5倍,求大部队的行进速度. (列方程解应用题)6. (2012山东青岛6分)小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家,她去时经过环湾高速公路,全程约84km,返回时经过跨海大桥,全程约45km小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的1.2倍,所用时间却比返回时多20min求小丽所乘汽车返回时的平均速度7. (20
11、12广西桂林8分)李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会,到学校时发现演出道具还放在家中,此时距联欢会开始还有42分钟,于是他立即匀速步行回家,在家拿道具用了1分钟,然后立即匀速骑自行车返回学校已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟,且骑自行车的速度是步行速度的3倍(1)李明步行的速度(单位:米/分)是多少?(2)李明能否在联欢会开始前赶到学校?8. (2011广西崇左2分)元代朱世杰所著算学启蒙里有这样一道题:“良马日行两百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几何追及之?”,请你回答:良马 天可以追上驽马.二、工程问题解题指导: (1)基本量是:工作量、工作
12、效率、工作时间。基本关系是:工作量=工作效率工作时间;工作时间=;工作效率=。(2)基本类型:有工作总量和无工作总量。 (3)在工程问题中,若工作总量给出了明确的数量,此时工作效率也即工作速度;若没有给出明确的数量,一般常将全部工作量看作整体1,如果完成全部工作的时间为t,则工作效率为。常见的相等关系有两种:如果以工作量作相等关系,部分工作量之和=总工作量;如果以时间作相等关系,完成同一工作的时间差=多用的时间。典型例题:例1. (2012四川达州3分)为保证达万高速公路在2012年底全线顺利通车,某路段规定在若干天内完成修建任务.已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天,乙队单独完成这项
13、工程比规定时间多用40天,如果甲、乙两队合作,可比规定时间提前14天完成任务.若设规定的时间为x天,由题意列出的方程是【 】A、 B、C、 D、【答案】B。【考点】由实际问题抽象出分式方程(工程问题)。【分析】设规定的时间为x天则甲队单独完成这项工程所需时间是(x+10)天,乙队单独完成这项工程所需时间是(x+40)天甲队单独一天完成这项工程的,乙队单独一天完成这项工程的,甲、乙两队合作一天完成这项工程的,则。故选B。例2. (2012吉林省2分) 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同设原计划每天生产x台机器,则可列方程为
14、【 】A B C D【答案】C。【考点】由实际问题抽象出分式方程(工程问题)。【分析】因为原计划每天生产x台机器,现在平均每天比原计划多生产50台,所以,现在生产600台机器所需时间是天,原计划生产450台机器所需时间是天,由“现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同”得方程。故选C。.例3. (2012辽宁铁岭3分)某城市进行道路改造,若甲、乙两工程队合作施工20天可完成;若甲、乙两工程队合作施工5天后,乙工程队在单独施工45天可完成.求乙工程队单独完成此工程需要多少天?设乙工程队单独完成此工程需要x天,可列方程为 .【答案】。【考点】由实际问题抽象出分式方程(工程问
15、题)。【分析】甲、乙两工程队合作施工20天可完成;合作的工作效率为:。若设乙工程队单独完成此工程需要x天,则可列方程。例4. (2012福建厦门9分)工厂加工某种零件,经测试,单独加工完成这种零件,甲车床需用x小时,乙车床需用 (x21)小时,丙车床需用(2x2)小时. (1)单独加工完成这种零件,若甲车床所用的时间是丙车床的 ,求乙车床单独加工完成这种零件所需的时间;(2)加工这种零件,乙车床的工作效率与丙车床的工作效率能否相同?请说明理由.【答案】解:(1)由题意得, x(2x2),解得x4。 x2116115(小时)。答:乙车床单独加工完成这种零件所需的时间是15小时。(2)不相同。若乙
16、车床的工作效率与丙车床的工作效率相同,由题意得, ,。x1。经检验,x1不是原方程的解, 原方程无解。答:乙车床的工作效率与丙车床的工作效率不相同。【考点】一元一次方程和分式方程的应用。【分析】(1)若甲车床需要x小时,丙车床需用(2x-2)小时,根据甲车床所用的时间是丙车床的,即可列出方程求解。(2)假设乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同列出方程,证明它无解即可。例5. (2012辽宁沈阳10分)甲、乙两人加工同一种机器零件,甲比乙每小时多加工10个零件,甲加工150个零件所用时间与乙加工120个零件所用时间相等,求甲、乙两人每小时各加工多少个机器零件?【答案】解:设乙每小时加工机器零件
17、x个, 则甲每小时加工机器零件(x10) 个, 根据题意得:,解得x=40。经检验, x=40是原方程的解,x+10=40+10=50。答: 甲每小时加工50个零件, 乙每小时加工40个零件。【考点】分式方程的应用(工程问题)。【分析】根据“甲加工150个零件所用的时间与乙加工120个零件所用时间相等”可得出相等关系,从而只需表示出他们各自的时间即可。例6. (2012山东临沂6分)某工厂加工某种产品机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件,若加工1800件这样的产品,机器加工所用的时间是手工加工所用时间的倍,求手工每小时加工产品的数量练习题:1. (2012内蒙古赤峰3
18、分)某中学的学生自己动手整修操场,如果让初二学生单独工作,需要6小时完成;如果让初三学生单独工作,需要4小时完成现在由初二、初三学生一起工作x小时,完成了任务根据题意,可列方程为 2. (2012湖北黄冈6分)某服装厂设计了一款新式夏装,想尽快制作8800 件投入市场,服装厂有A、B 两个制衣车间,A 车间每天加工的数量是B车间的12 倍,A、B 两车间共同完成一半后,A 车间出现故障停产,剩下全部由B 车间单独完成,结果前后共用20 天完成,求A、B 两车间每天分别能加工多少件3. (2012贵州安顺10分)某市为了治理城市污水,需要铺设一段全长为300米的污水排放管道,铺设120米后,为了
19、尽可能减少施工对城市交通所造成的影响,后来每天的工作量比原计划增加20%,结果共用了27天完成了这一任务,求原计划每天铺设管道多少米?4. (2012山东泰安10分)一项工程,甲,乙两公司合做,12天可以完成,共需付施工费102000元;如果甲,乙两公司单独完成此项工程,乙公司所用时间是甲公司的1.5倍,乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元(1)甲,乙两公司单独完成此项工程,各需多少天?(2)若让一个公司单独完成这项工程,哪个公司的施工费较少?5. (2012广西玉林、防城港10分)一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥,从运输量来估算:若租两车合运,10天可以完成任务;若单独租用乙
20、车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用15天.(1)甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天?(2)已知两车合运共需租金65000元,甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元,试问:租甲乙两车、单独租甲车、单独租乙车这三种租车方案中,哪一种租金最少?请说明理由.三、溶度问题解题指导: (1)基本量是:溶质(纯净物)、溶剂(杂质)、溶液(混合物)、浓度(含量)。基本关系是:溶液=溶质+溶剂(混合物=纯净物+杂质);浓度=100=100(纯度(含量)=100=100);溶质=浓度溶液=浓度(溶质+溶剂)(2)在溶液问题中关键量是“溶质”:“溶质不变”,混合前溶质总量等于混合后的溶质量,是很多方程应用
21、题中的主要等量关系。典型例题:例1. (2011湖南株洲6分)食品安全是老百姓关注的话题,在食品中添加过量的添加剂对人体有害,但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂,A饮料每瓶需加该添加剂2克,B饮料每瓶需加该添加剂3克,已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶,问A、B两种饮料各生产了多少瓶?【答案】解:设A饮料生产了瓶,B饮料生产了瓶,依题意得: , 解得:。答:A饮料生产了30瓶,B饮料生产了70瓶 。 【考点】二元一次方程组的应用(浓度问题)。【分析】方程(组)的应用解题关键是找出等量关系,列出方程求解。本题等量
22、关系为: A两种饮料B两种饮料100瓶 100A两种饮料添加剂B两种饮料添加剂270克 2 3 270。例2. (2011浙江温州12分)2011年5月20日是第22个中国学生营养日,某校社会实践小组在这天开展活动,调查快餐营养情况他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图)根据信息,解答下列问题(1)求这份快餐中所含脂肪质量;(2)若碳水化合物占快餐总质量的40%,求这份快餐所含蛋白质的质量;(3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%,求其中所含碳水化合物质量的最大值【答案】解:(1)4005%=20克答:这份快餐中所含脂肪质量为20克;(2)设所含矿物质的质量为克
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