考点52变量间的相关关系与独立性检验-2018版典型高考数学试题解读与变式(原卷版).pdf
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1、考点 52 变量间的相关关系与独立性检验 【考纲要求】 1会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系; 2了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程; 3了解独立性检验,并能应用这些方法解决一些实际问题. 4了解独立性检验(只要求 22列联表 )的基本思想、方法及其简单应用. 【命题规律】 分析近几年的高考试题不难知一般对回归直线的考查主要考查数据处理能力与计算能力,考查回归直线方 程的求法及样本中心点的应用;对于独立性检验问题,常常与概率、分布列、期望和方差进行综合考查, 主要体现为根据数据能够得到其22列联表,然后利用 2 K进行独立性检
2、验预计2018 年高考对本部分 的考查侧重于以下几个方面:(1)回归直线方程的求法和应用,常常会在小题中出现;( 2)独立性检验思 想的应用,可在小题中单独考查,也可能与概率统计知识在解答题中出现,总之估计高考对本部分的考查 会有所增强 【典型高考试题变式】 (一)变量相关关系的判断 例 1 【 2015年湖北卷】已知变量 x 和 y满足关系0.11yx,变量y与 z 正相关下列结论中正确的 是() A x 与y负相关,x与 z 负相关B x与y正相关, x 与 z 正相关 C x 与y正相关, x与 z负相关D x与y负相关, x 与 z正相关 【答案】 A 【方法技巧与归纳】在散点图中,如
3、果所有的样本点都落在某一函数的曲线上,就用该函数来描述变量之 间的关系,即变量之间具有函数关系如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近,变量之间就有相关 关系如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系画散点图时,两组数据中可 以任选一组作为横坐标取值,另一组作为纵坐标取值且平面直角坐标系中两坐标轴的长度单位可以不同 【变式 1】 【变为利用频率等高条形判断相关关系】观察下面频率等高条形图,其中两个分类变量,x y之间 关系最强的是() A. B. C. D. 【变式2】 【变为利用相关系数判断相关关系】若回归直线0yabxb,则x与y之间的相关系数 () A0rBrlC01r
4、D10r (二)回归方程的求法与回归分析 例 2 【 2016 年新课标卷】下图是我国2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折 线图 ()由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明; ()建立y 关于 t 的回归方程(系数精确到0.01 ) ,预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量. 附注: 参考数据: 7 1 9.32 i i y , 7 1 40.17 ii i t y , 7 2 1 ()0.55 i i yy,7 2.646. 参考公式:相关系数 1 22 11 ()() ()(yy) n ii i nn ii ii tty
5、y r tt , 回归方程 yabt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 1 2 1 ()() () n ii i n i i ttyy b tt ,= .a ybt 学 +科网 【答案】()0.99r,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系; () 1.82 亿吨 ()由331.1 7 32.9 y及()得103.0 28 89.2 )( )( ? 7 1 2 7 1 i i i ii tt yytt b, 来源学* 科*网 Z*X*X*K 92.04103.0331.1 ? ?t bya.学科 + 网 所以,y关于t的回归方程为:ty10.092.0?.
6、 将 2016 年对应的9t代入回归方程得:82.1910.092.0 ? y . 所以预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82 亿吨 . 【方法技巧与归纳】判断 两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法:( 1)利用散点图直观判断; (2)将相关数据代入相关系数r公式求出r,然后根据r的大小进行判断求线性回归方程时再严格按照 公式求解,一定要注意计算的准确性 规律总结: ( 1)最小二乘法估计的一般步骤:作出散点图, 判断是否线性相关;若是, 则用公式求 ? ?, a b, 写出回归方程;根据方程进行估计(2)回归直线必过定点( , )x y 【变式 1】 【变折线图给出数据
7、为表格给出数据,同时变为自己计算相关数据进行求解】某省的一个气象站 观测点在连续4 天里记录的AQI指数M与当天的空气水平可见度y(单位:cm)的情况如表1: 该省某市 2016 年 11 月AQI指数频数分布如表2: M 0,200200,400400,600600,800800,1000 频数3 6 12 6 3 (1)设 100 M x,根据表1 的数据,求出y关于x的线性回归方程; (附参考公式: ? ?ybxa,其中 1 22 1 ? n ii i n i i x ynxy b xnx , ? ? a ybx) (2)小李在该市开了一家洗车店,经统计,洗车店平均每天的收入与AQI指数
8、由相关关系,如表3: M0,200200,400400,600600,800800,1000 日均收入(元)20001000200060008000 根据表 3 估计小李的洗车店该月份平均每天的收入 【变式 2】 【变试题背景且须先画散点图判断相关性再求回归模型】某公司为了准确地把握市场,做好产品 生产计划,对过去四年的数据进行整理得到了第x年与年销量y(单位:万件 )之间的关系如表: ( ) 在图中画出表中数据的散点图; ( ) 根据( ) 中的散点图拟合y与x的回归模型,并用相关系数甲乙说明; ( ) 建立y关于x的回归方程,预测第5 年的销售量约为多少?. 附注:参考数据: 4 2 1
9、32.6 i i yy,52.24, 4 1 418 ii i x y. 参考公式:相关系数 1 22 11 n ii i nn ii ii xxyy r xxyy , 回归方程 ? ?yabx中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: 11 2 22 11 ? nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxnx , ? ? a ybx. (三)独立性检验 例 3 【2017 年全国卷】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽 取了 100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg ) 其频率分布直方图如下: (1)设两种养殖方法的箱产量相互
10、独立,记A表示事件: “旧养殖法的箱产量低于50kg ,新养殖法的箱 产量不低于50kg ”,估计A的概率; (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关: 箱产量 50kg 箱产量50kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01 ) 附: , 2 2 n adbc K abcdacbd 【答案】(1)0.4092; (2)见解析;(3)52.35 kg(). (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量50kg箱产量50kg 旧养殖法62 38 新养殖法34 来源 学* 科*网 66 2
11、 2 200626634 38 15.705 100 100 96 104 K 由于15.7056.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关 (3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50kg的直方图面积为 0.0040.0200.04450.340.5, 箱产量低于55kg的直方图面积为0.0040.0200.044+0.06850.680.5 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 0.5-0.34 50+52.35 kg 0.068 ()学 = 科网 【 方 法 技 巧 与 归 纳 】 独 立 性 检 验 的 一 般 步 骤 : 根 据 样 本 数 据 制 成22列 联
12、表 ; 根 据 公 式 2 2 n adbc K abcdacbd 计算 2 K的值;查表比较 2 K与临界值的大小关系,作统计判断 【变式 1】 【变独立性检验与概率交汇为独立性检验与统计交汇】中国神舟十一号载人飞船在酒泉卫星发射 中心成功发射,引起全国轰动开学后,某校高二年级班主任对该班进行了一次调查,发现全班60 名同 学中,对此事关注的占 1 3 ,他们在本学期期末考试中的物理成绩(满分 100 分)如下面的频率分布直方图: (1)求“对此事关注”的同学的物理期末平均分(以各区间的中点代表该区间的均值) (2)若物理成绩不低于80 分的为优秀,请以是否优秀为分类变量, 补充下面的22列
13、联表: 物理成绩优秀物理成绩不优秀合计 对此事关注 对此事不关注 合计 是否有95%以上的把握认为“对此事是否关注”与物理期末成绩是否优秀有关系? 参考公式: 2 2 n adbc k abcdacbd ,其中nabcd. 参考数据: 2 0 P Kk 0.15 0.100.05 0.025 0.010 0.005 来源 学。科。网 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【变式 2】 【变为独立性检验与频率分布表交汇】2014 年 7 月 16 日,中国互联网络信息中心发布第三 十四次中国互联网发展状况报告,报告显示:我国网络
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