考点10导数的几何意义-2018版典型高考数学试题解读与变式(解析版).pdf
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1、典型高考数学试题解读与变式2018版 考点十:导数的几何意义 【考纲要求】 (1)了解导数概念的实际背景. (2) 通过函数图像直观理解导数的几何意义. (3) 根据导数的定义求基本函数的导数. (4) 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的 复合函数(仅限于形如)(baxf的复合函数)的导数. 【命题规律】 导数的运算是导数应用的基础,一般较少直接考查,而导数的几何意义- 切线问题是高考考查的热点. 预计 2017 年的高考将会继续保持稳定,坚持考查导数的几何意义,命题形式会更加灵活、新颖 【典型高考试题变式】 (一)求函数的导函数 例 1.【20
2、17 浙江高考改编】已知函数 x 1 fxx-2x-1 ex 2 ,求fx的导函数 . 【答案】(I) 1212 1 () 2 21 x xxe fxx x ; 【方法技巧归纳】求函数的导函数要做到:1.基本初等函数的导函数相当熟悉;2.导函数的四则运算要 熟练 .另外,在求导的过程中,要注意对原式进行变形,使得便于我们求导. 【变式1】 【函数中含有参数,利用某函数值的导数求参数的值】【2015天津卷(文) 】已知函数 ln ,0,fxaxx x, 其中a为实数 ,fx为fx的导函数 ,若13f,则a的值为 【答案】 3 【解析】因为1lnfxax,所以13fa. 【变式 2】 【赋值法在求
3、导得应用,题型变为填空题】【2017 江西太原高三模考一(文)改编题】已知 函数 2 10 2 x ff fxexx e ,则)(xf的最小值为 _. 【答案】 1 (二)导数的几何意义 例 2.【2017 天津卷(文)】已知aR,设函数( )lnf xaxx 的图像在点1,1f处的切线为l,则l 在y轴上的截距为 . 【答案】 1 【解析】(1)fa,切点为(1, )a, 1 ( )fxa x ,则切线的斜率为(1)1fa,切线方程为: (1)(1)yaax,令0x得出1y,l在y轴的截距为1. 【方法技巧归纳】切线的斜率就是函数在切点处的导数,倾斜值的正切值就是斜率. 【变式 1】【已知含
4、参函数的切线斜率,求参数的值(或取值范围) 】【2017 四川乐山第三次调研考试(理) 】 已知曲线 2 21 xx fxeeax存在两条斜率为3的切线,则实数a的取值范围是() A. 3,B. 7 3, 2 C. 7 , 2 D. 0,3 【答案】 B 【解析】由题得 2 22 xx fxeea,则方程 2 223 xx eea有两个解,令 x te,且 2 223g ttta,则由图象可知,有0g t且0,即30a且4830a,解得 7 3 2 a,故选 B. 【变式2】 【函数的切线斜率与切线的倾斜角之间的关系】【2017安徽宣城六校联考改编题】过函数 32 1 3 fxxx图象上一个动
5、点作函数的切线,则切线倾斜角的范围为 A. 3 0, 4 B. 3 0, 24 C. 3 , ) 4 D. 3 (, 24 【答案】 B 【解析】由题意得 2 2kfxxx= 2 111x,即tan1k,解得 0 2 或 3 4 .即切线倾斜角的范围为 3 0, 24 .故选 B. 【变式 3】 【两个函数的切线垂直求切点的取值范围】【2015 陕西卷(理)】设曲线 x ye在点( 0,1) 处的切线与曲线 1 (0)yx x 上点处的切线垂直,则的坐标为 【答案】 1,1 【变式 4】【两个函数的切线平行求参数的值】【 2014 江苏】在平面直角坐标系中, 若曲线 (为常数)过点,且该曲线在
6、点处的切线与直线平行,则 . 【答案】 【解析】 曲线过点,则,又,所以,由 解得所以 (三)在一点处的切线方程 例 3.【2017 全国 1 卷(文) 】曲线 21 yx x 在点( 1,2)处的切线方程为_. 【答案】1yx 【解析】设yfx,则 2 1 2fxx x ,所以1211f, 所以曲线 2 1 yx x 在点1,2处的切线方程为211yx,即1yx 【方法技巧归纳】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出斜率, 其求法为:设 00 ,P xy是曲线yfx上的一点,则以 P为切点的切线方程是 000 yyfxxx若曲线yfx在点00 ,P xfx处的切
7、线平行于y轴(即导数不存在)时, 由切线定义知,切线方程为 0 xx 【变式1 】 【例题中增加函数性质】【 2016全国3 卷(理) 】已知fx为偶函数,当0x时, ln3fxxx,则曲线yfx在点1, 3处的切线方程是_ 【答案】21yx 【变式 2】 【增加例题中函数的参数,求参数的取值】【2017 届衡水中学押题卷3(文)改编题】已知 函数1 e x fxbxa(a,Rb).若曲线yfx在点0,0f处的切线方程为yx,求a, b的值分别为 _. 学-科网 【答案】2, 1 【解析】函数fx的定义域为R,e1 e xx fxbbx1 e x bxb. 因为曲线yfx在点0,0f处的切线方
8、程为yx,所以 00, 01, f f 得 10, 11, a b 解得 1, 2. a b (四)过一点的切线方程 例 4.【2015 全国 1 卷(理)改编题】已知函数, (1)当为何值时,轴为曲线的切线 . 【答案】(); 【解析】()设曲线与 轴相切于点,则,即, 解得.因此,当时,轴是曲线的切线 . 【方法技巧归纳】对于曲线)(xfy上“过”点),(nm的切线问题,一般要先设切点),( 00 yx,于是 切线为)( 0 mxxfny,再根据切点在曲线上得)( 00 xfy,切点在切线上得 )( 000 mxxfny.列方程组,可得切点的值. 【变式1】 【增加例题的难度,求切线的取值
9、范围】【2017甘肃第二次高考诊断考试(理)】若P是函 数 1 ln1fxxx 图象上的动点,点 1, 1A ,则直线AP斜率的取值范围为() A. 1,B. 0,1C. 1, eeD. 1 ,e 【答案】 A 切线过点1, 1,则: 0000 11 ln1ln111xxxx, 解得: 0 0x,切线的斜率 0 ln11 1kx,学 -科网 综上可得:则直线AP斜率的取值范围为1, . (五)两曲线的公切线 例 5.【2016 全国 2 卷(理) 】若直线 ykxb是曲线ln2yx 的切线, 也是曲线 ln1yx 的切线, 则b 【答案】 1ln2 【解析】 ln2yx 的切点为11 ln+2
10、xx, ,则它的切线为 1 1 1 ln1yxx x . ln1yx 的切点为 22 ln+2xx, ,则它的切线为: 2 2 22 1 ln1 11 x yxx xx ,所以 12 2 12 2 11 1 ln1ln1 1 xx x xx x ,解得 1 1 2 x , 2 1 2 x ,所以 1ln11ln 2bx 【方法技巧归纳】两曲线有公共切线,一般可以分别求出两曲线的切线,然后说明这两直线重合;或 者先求出其中一条曲线的切线,然后说明其也和另一曲线相切. 【变式1】 【例题中曲线添加参数,求参数的值】【2015全国 2 卷】已知曲线lnyxx在点)1 , 1(处 的切线与曲线1)2(
11、 2 xaaxy相切,则a= 【答案】 8 【解析】由 1 1y x 可得曲线lnyxx在点)1 , 1(处的切线斜率为2,故切线方程为21yx,与 1)2( 2 xaaxy联立得 2 20axax,显然0a,所以由 2 808aaa. 【变式 2】 【改编题目问法,两曲线存在公切线求参数范围】【2017 河南六市第二次联考(理)】若曲线 2 1: (0)Cyaxa与曲线 2: x Cye存在公共切线,则a的取值范围为_ 【答案】 2 , 4 e 【解析】由y=ax2(a0), 得y =2ax,由y=ex,得y=ex,曲线C1:y=ax2(a0) 与曲线C2:y=ex存在公共 切线, 设公切线
12、与曲线C1切于点 (x1,ax1 2),与曲线 C2切于点 2 2, x xe,则 2 2 2 1 1 21 2 x x eax axe xx , 可得 2x2=x1+2 , 1 1 2 1 2 x e a x , 记 1 2 2 x e fx x ,则 1 2 2 2 4 x ex fx x , 当x (0,2)时,f(x)0,f(x)递增 . 当x=2 时, 2 min 4 e fx. a的范围是 2 , 4 e . 【数学思想】 无限逼近的极限思想 (1)由 0 ()( ) ( )lim x f xxf x fx x 可以知道,函数的导数是函数的瞬时变化率,函数的瞬时变化 率是平均变化率
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