2017年上海市高考数学试卷(含解析版).pdf
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1、1 2017 年上海市高考数学试卷 一、填空题(本大题共12题,满分 54 分,第 16 题每题 4 分,第 712 题每 题 5 分) 1 (4 分)已知集合 A=1,2,3,4,集合 B=3,4,5 ,则 AB= 2 (4 分)若排列数=654,则 m= 3 (4 分)不等式1 的解集为 4 (4 分)已知球的体积为36,则该球主视图的面积等于 5 (4 分)已知复数 z 满足 z+=0,则|z|= 6 (4 分)设双曲线=1 (b0)的焦点为 F1、F2,P为该双曲线上的一点, 若|PF1|=5 ,则|PF2|= 7 (5 分)如图,以长方体ABCD A1B1C1D1的顶点 D为坐标原点
2、,过D的三条棱 所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若的坐标为( 4,3,2) , 则的坐标是 8 (5 分)定义在( 0,+)上的函数 y=f(x)的反函数为 y=f 1 (x) ,若 g(x) =为奇函数,则 f 1(x)=2的解为 9 (5 分)已知四个函数: y=x,y=,y=x 3,y=x ,从中任选 2 个,则事件“所选2 个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 10 (5 分)已知数列 an 和bn ,其中 an=n 2,nN*,b n 的项是互不相等的正整 数 , 若 对 于 任 意n N * , bn 的 第an项 等 于 an 的 第bn项 , 则 2 = 11 (5
3、 分)设 a1、a2R ,且,则| 10a1a2| 的最 小值等于 12 (5 分)如图,用35 个单位正方形拼成一个矩形,点P1、P2、P3、P4以及四 个标记为“”的点在正方形的顶点处,设集合= P1,P2,P3,P4 ,点 P ,过 P作直线 lP,使得不在 lP上的“”的点分布在lP的两侧用 D1(lP) 和 D2(lP)分别表示 lP一侧和另一侧的“”的点到lP的距离之和若过P 的直线 lP中有且只有一条满足D1(lP) =D2(lP) , 则 中所有这样的 P为 二、选择题(本大题共4 题,每题 5 分,共 20分) 13 (5 分)关于 x、y 的二元一次方程组的系数行列式 D为
4、() ABCD 14 (5 分)在数列 an中,an=() n,nN* ,则an() A等于B等于 0C等于D不存在 15 (5 分)已知 a、b、c 为实常数, 数列xn 的通项 xn=an 2+bn+c,nN* ,则“存 在 kN * ,使得 x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是() Aa0Bb0Cc=0Da2b+c=0 16 (5 分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 C1:=1和 C2:x 2+ =1P 为 C1上的动点, Q为 C2上的动点, w 是的最大值记= (P,Q )|P 在 C1上,Q在 C2上,且=w,则 中元素个数为() 3 A2 个B
5、4 个C8 个D无穷个 三、解答题(本大题共5 题,共 14+14+14+16+18=76分) 17 (14 分)如图,直三棱柱ABC A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和 AC的长分别为 4和 2,侧棱 AA1的长为 5 (1)求三棱柱 ABC A1B1C1的体积; (2)设 M是 BC中点,求直线 A1M与平面 ABC 所成角的大小 18 (14分)已知函数 f (x)=cos 2xsin2x+ ,x(0,) (1)求 f (x)的单调递增区间; (2)设 ABC为锐角三角形,角A所对边 a=,角 B所对边 b=5,若 f (A) =0,求 ABC的面积 4 19 (14分)根据
6、预测,某地第n(nN * )个月共享单车的投放量和损失量分别 为 an和 bn(单位:辆),其中 an=,bn=n+5,第 n 个月底 的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差 (1)求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量; (2)已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量Sn=4(n46) 2+8800 (单位:辆)设在某月底,共享单车保有量达到最大,问该保有量是否超出 了此时停放点的单车容纳量? 20 (16 分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 :=1,A为 的上 顶点, P为 上异于上、下顶点的动点,M为 x 正半轴上的动点 (1)若 P在第一象限,且 |OP
7、|=,求 P的坐标; (2)设 P() ,若以 A、P、M为顶点的三角形是直角三角形,求M的横坐 标; (3)若|MA|=|MP| ,直线 AQ与 交于另一点 C,且,求直线 AQ的方程 5 21 (18 分)设定义在R上的函数 f (x)满足:对于任意的x1、x2R ,当 x1 x2时,都有 f (x1)f (x2) (1)若 f (x)=ax 3+1,求 a 的取值范围; (2)若 f (x)是周期函数,证明: f (x)是常值函数; (3)设 f (x)恒大于零, g(x)是定义在 R上的、恒大于零的周期函数,M是 g(x)的最大值函数h(x)=f (x)g(x) 证明:“ h(x)是周
8、期函数” 的充要条件是“ f (x)是常值函数” 6 2017 年上海市高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题(本大题共12题,满分 54 分,第 16 题每题 4 分,第 712 题每 题 5 分) 1 (4 分)已知集合 A=1,2,3,4,集合 B=3,4,5,则 AB= 3,4 【考点】 1E:交集及其运算 【专题】 11:计算题; 37:集合思想; 4O :定义法; 5J:集合 【分析】 利用交集定义直接求解 【解答】 解:集合 A=1,2,3,4 ,集合 B=3,4,5, AB=3,4 故答案为: 3,4 【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的
9、 合理运用 2 (4 分)若排列数=654,则 m= 3 【考点】 D4 :排列及排列数公式 【专题】 11:计算题; 38:对应思想; 4O :定义法; 5I :概率与统计 【分析】 利用排列数公式直接求解 【解答】 解:排列数=654, 由排列数公式得, m=3 故答案为: m=3 【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意排列数公 式的合理运用 7 3 (4 分)不等式1 的解集为(, 0) 【考点】 7E:其他不等式的解法 【专题】 35:转化思想; 4R :转化法; 59:不等式的解法及应用 【分析】 根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可 【解答】 解:由1
10、得: , 故不等式的解集为:(, 0) , 故答案为:(, 0) 【点评】 本题考查了解分式不等式,考查转化思想,是一道基础题 4 (4 分)已知球的体积为36,则该球主视图的面积等于9 【考点】 L7:简单空间图形的三视图 【专题】 31:数形结合; 48:分析法; 5U :球 【分析】 由球的体积公式,可得半径R=3 ,再由主视图为圆,可得面积 【解答】 解:球的体积为 36, 设球的半径为 R,可得R 3=36, 可得 R=3 , 该球主视图为半径为3 的圆, 可得面积为 R 2=9 故答案为: 9 【点评】本题考查球的体积公式, 以及主视图的形状和面积求法, 考查运算能力, 8 属于基
11、础题 5 (4 分)已知复数 z 满足 z+=0,则|z|= 【考点】 A5:复数的运算 【专题】 38:对应思想; 4A:数学模型法; 5N:数系的扩充和复数 【分析】 设 z=a+bi (a,bR) ,代入 z 2=3,由复数相等的条件列式求得 a,b 的值得答案 【解答】 解:由 z+=0, 得 z 2=3, 设 z=a+bi (a,bR) , 由 z 2=3,得( a+bi)2=a2b2+2abi=3, 即,解得: 则|z|= 故答案为: 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的条件以及复数模 的求法,是基础题 6 (4 分)设双曲线=1 (b0)的焦点为 F1、F2,
12、P为该双曲线上的一点, 若|PF1|=5 ,则|PF2|= 11 【考点】 KC :双曲线的性质 【专题】 11:计算题; 34:方程思想; 4O :定义法; 5D :圆锥曲线的定义、性质 与方程 【分析】 根据题意,由双曲线的方程可得a 的值,结合双曲线的定义可得|PF1| |PF2|=6 ,解可得 |PF2| 的值,即可得答案 9 【解答】 解:根据题意,双曲线的方程为:=1, 其中 a=3, 则有|PF1| |PF2|=6 , 又由|PF1|=5 , 解可得 |PF2|=11 或1(舍) 故|PF2|=11 , 故答案为: 11 【点评】 本题考查双曲线的几何性质,关键是掌握双曲线的定义
13、 7 (5 分)如图,以长方体ABCD A1B1C1D1的顶点 D为坐标原点,过D的三条棱 所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若的坐标为( 4,3,2) , 则的坐标是(4,3,2) 【考点】 JH:空间中的点的坐标 【专题】 11:计算题; 31:数形结合; 44:数形结合法; 5H :空间向量及应用 【分析】由的坐标为(4,3,2) ,分别求出 A和 C1的坐标,由此能求出结果 【解答】 解:如图,以长方体ABCD A1B1C1D1的顶点 D为坐标原点, 过 D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系, 的坐标为( 4,3,2) ,A(4,0,0) ,C1(0,3,2) , 故
14、答案为:(4,3,2) 10 【点评】本题考查空间向量的坐标的求法,考查空间直角坐标系等基础知识,考 查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题 8 (5 分)定义在( 0,+)上的函数 y=f(x)的反函数为 y=f 1 (x) ,若 g(x) =为奇函数,则 f 1(x)=2的解为 【考点】 4R :反函数 【专题】 35:转化思想; 48:分析法; 51:函数的性质及应用 【分析】 由奇函数的定义,当x0 时, x0,代入已知解析式,即可得到所 求 x0 的解析式,再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反,即可得 到所求值 【解答】 解:若 g(x)=为奇函数, 可得当 x0 时,x0
15、,即有 g(x)=3 x1, 由 g(x)为奇函数,可得g(x)=g(x) , 则 g(x)=f(x)=13 x ,x0, 由定义在( 0,+)上的函数 y=f (x)的反函数为 y=f 1(x) , 且 f 1(x)=2, 可由 f (2)=13 2= , 可得 f 1(x)=2的解为 x= 故答案为: 【点评】本题考查函数的奇偶性和运用, 考查互为反函数的自变量和函数值的关 系,考查运算能力,属于基础题 11 9 (5 分)已知四个函数: y=x,y=,y=x 3,y=x ,从中任选 2 个,则事件“所选2 个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 【考点】3A:函数的图象与图象的变换;
16、CC :列举法计算基本事件数及事件发生 的概率 【专题】 11:计算题; 33:函数思想; 4O :定义法; 5I :概率与统计 【分析】 从四个函数中任选 2 个,基本事件总数n=,再利用列举法求出事 件 A:“所选 2 个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数, 由此能求出事件 A:“所选 2 个函数的图象有且只有一个公共点”的概率 【解答】 解:给出四个函数: y=x,y=,y=x 3,y=x , 从四个函数中任选2 个,基本事件总数n=, 有两个公共点( 0,0) , (1,1) 事件 A:“所选 2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有: ,共 2 个, 事件
17、A:“所选 2 个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P (A)= 故答案为: 【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合 理运用 10 (5 分)已知数列 an 和bn ,其中 an=n 2,nN*,b n 的项是互不相等的正整 数,若对于任意 nN * , bn的第 an项等于 an 的第 bn项,则= 2 【考点】 8H :数列递推式 12 【专题】 34:方程思想; 4R :转化法; 51:函数的性质及应用; 54:等差数列与 等比数列 【分析】 an=n 2,nN*,若对于一切 nN * ,bn中的第 an项恒等于 an中的第 bn 项, 可得= 于是
18、b1=a1=1,=b4,=b9,=b16 即 可得出 【解答】 解: an=n 2,nN*,若对于一切 nN * ,bn中的第 an项恒等于 an中 的第 bn项, = b1=a1=1,=b4,=b9,=b16 b1b4b9b16= =2 故答案为: 2 【点评】本题考查了数列递推关系、 对数的运算性质, 考查了推理能力与计算能 力,属于中档题 11 (5 分)设 a1、a2R ,且,则| 10a1a2| 的最 小值等于 【考点】 GF :三角函数的恒等变换及化简求值 【专题】 35:转化思想; 4R :转化法 【分析】 由题意,要使+=2,可得 sin 1=1,sin2 2= 1求出 1和
19、2,即可求出 | 1012| 的最小值 【解答】 解:根据三角函数的性质,可知sin 1,sin2 2的范围在 1,1 , 要使+=2, sin 1=1,sin2 2=1 13 则:,k1Z ,即,k2Z 那么:1+2=(2k1+k2),k1、k2Z | 1012|=| 10(2k1+k2) | 的最小值为 故答案为: 【点评】本题主要考察三角函数性质,有界限的范围的灵活应用, 属于基本知识 的考查 12 (5 分)如图,用35 个单位正方形拼成一个矩形,点P1、P2、P3、P4以及四 个标记为“”的点在正方形的顶点处,设集合= P1,P2,P3,P4 ,点 P ,过 P作直线 lP,使得不在
20、 lP上的“”的点分布在lP的两侧用 D1(lP) 和 D2(lP)分别表示 lP一侧和另一侧的“”的点到lP的距离之和若过P 的直线 lP中有且只有一条满足D1(lP)=D2(lP) ,则 中所有这样的 P为P1、 P3、P4 【考点】 F4:进行简单的合情推理 【专题】 35:转化思想; 44:数形结合法; 5M :推理和证明 【分析】 根据任意四边形 ABCD 两组对边中点的连线交于一点, 过此点作直线,使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧, 则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等;由此得出结论 14 【解答】 解: 建立平面直角坐标系,如图所示; 则记为“”的四个点是A(0,3
21、) ,B(1,0) ,C(7,1) ,D (4,4) , 线段 AB ,BC ,CD ,DA的中点分别为 E,F,G ,H , 易知 EFGH 为平行四边形,如图所示; 设四边形重心为 M (x,y) , 则+= , 由此求得 M (3,2) ,即为平行四边形EFGH 的对角线交于点 P2, 则符合条件的直线lP一定经过点 P2, 且过点 P2的直线有无数条; 由过点 P1和 P2的直线有且仅有1 条, 过点 P3和 P2的直线有且仅有1 条, 过点 P4和 P2的直线有且仅有1 条, 所以符合条件的点是P1、P3、P4 故答案为: P1、P3、P4 【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用
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