考点17等差、等比数列的运算和性质-2016届高考文科数学必考考点专题分类训练.pdf
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1、【考点剖析】 1. 最新考试说明: (1)理解等差、等比数列的概念;(2)掌握等差、等比数列的通项公式与前n项和公式;(3)了解等差 数列与一次函数的关系,等比数列与指数函数的关系;(4)能利用等差、等比数列的前n项和公式及其性 质求一些特殊数列的和;(5)能运用数列的等差、等比关系解决实际问题. 2. 命题方向预测: 预计 2016 年高考针对本节内容的考查将以等差、等比数列的通项公式,求和公式和性质为主,在复习时应 予以关注等差、等比数列与其他知识的综合. 3. 课本结论总结: 等差数列的判断方法: (1) 定义法:对于2n的任意自然数,验证 1nn aa为同一常数; (2) 等差中项法:
2、验证 * 12 2(3,) nnn aaannN都成立; (3) 通项公式法:验证 n apnq; (4) 前 n 项和公式法:验证 2 n SAnBn. 注后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列 来源 :学 & 科& 网 来源: 学#科# 网 等比数列的判定方法: (1) 定义法:若 1n n a q a (q为非零常数 )或 1 n n a q a (q为非零常数且 2n ) ,则 n a是等比数列 (2) 中项公式法:若数列 n a中0 n a且 2* 12( ) nnn aaanN,则数列 n a是等比数列 (3) 通项公式法:若数列通项公式可写成 1n n ac
3、 q(c,q均为不为0 的常数, * nN) ,则 n a是等比 数列 (4) 前 n 项和公式法:若数列an 的前 n 项和 n n Sk qk(k为常数且0k,0,1q) ,则 n a是等比 数列 注:对于第一、二种方法适用于任何题型,强调推理过程,而第三、四种方法适合于选择、填空题,强调 结论的应用,若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比即可 4. 名师二级结论: 以数列与函数、不等式相结合为背景的选择题, 主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前 n项和公式 以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、比较大小、参数取值范围的探求,此类题型主要考查学生对 知识的灵活
4、变通、融合与迁移,考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能近年来加强了对递推 数列考查的力度,这点应当引起高度的重视预计在高考中,比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一 定会出现其中,以函数与数列、不等式为命题载体,有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未 来高考命题的一个新的亮点,而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题 求解数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略:(1)若函数fx在定义域为D,则当 xD时,有 fxM恒成立 min fxM;fxM恒成立 max fxM;(2) 利用等差数 列与等比数列等数列知识化简不等式,再通过解不等式解得求解数列中的某些最值问
5、题,有时须结合不 等式来解决,其具体解法有:(1) 建立目标函数,通过不等式确定变量范围,进而求得最值;(2) 首先利用 不等式判断数列的单调性,然后确定最值;(3) 利用条件中的不等式关系确定最值. 5. 课本经典习题: (1) 新课标 A版必修 5 第 44 页,例 3 已知数列 n a的前n项和为 2 1 2 n Snn,求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗?如果是,它是首项与公差分别是什么?. (2) 新课标 A版必修 5 第 45页,例 4 已知等差数列5, 2 4 7 , 4 3 7 ,, 的前n项和为 n S,求使得 n S最大 的序号n的值 . 6. 考点交汇展示: 来
6、源:Zxxk.Com (1) 数列与函数相结合 1. 【 2015 高考福建,文 16】 若,a b是函数 2 0,0fxxpxq pq的两个不同的零点, 且, , 2a b 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则pq的值等于 _ 2. 【 2014 高考陕西卷文第14 题】已知0, 1 )(x x x xf,若Nnxffxfxfxf nn ),()(),()( 11 , 则)( 2014 xf的表达式为 _. (2) 数列与不等式相结合 来源 :学科网 【房山区2014 届高三年级第一学期期末统考】设0,0.ab若3是 a 3 与 b2 3的等比中项 , 则 ba 12
7、 的最 小值为 ( ) A.8 B.4 C.1 D. 1 4 【考点分类】 热点 1 等差数列基本量的计算 1. 【2015 高考陕西,文 13】 中位数为 1010的一组数构成等差数列,其末项为 2015, 则该数列的首项为_ 2. 【 2015 高考新课标1,文 7】已知 n a是公差为1 的等差数列, n S为 n a的前n项和,若 84 4SS,则 10 a() (A) 17 2 (B) 19 2 (C)10(D)12 3. 【2014 高考江西卷文第13 题】 在等差数列 n a中,7 1 a,公差为d,前n项和为 n S,当且仅当8n 时 n S取最大值,则d的取值范围 _. 4.
8、 在等差数列 n a 中, 已知38 10aa , 则57 3aa_. 【解题技巧】等差数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量 1 a, n a,d,n, n S,知其中三个就能 求另外两个,体现了用方程的思想解决问题,此外要注意当0d时,为常数列,是特殊的等差数列,例如 第 4 题,需分类讨论求解问题. 【方法规律】数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而 1 a和d是等差数列的两个基 本量, 用它们表示已知和未知是常用方法,例如第 3 题,将条件中的等式都转化为关于 1 a和d的方程组,通 过解方程组求解. 热点 2 等差数列性质的综合运用 1.【2015 高考安徽,
9、文13】已知数列 n a中,1 1 a, 2 1 1nn aa(2n),则数列 n a的前 9 项和 等于. 2. 【2015 高考浙江, 文 10】 已知 n a是等差数列, 公差d不为零若 2 a, 3 a, 7 a成等比数列, 且 12 21aa, 则 1 a,d 3. 设函数( )2cosf xxx, n a是公差为 8 的等差数列 , 125 ()()()5f af af a, 则 2 313 ()f aa a() A0 B 21 16 C 21 8 D 213 16 4. 设数列, nn ab都是等差数列 , 若 1133 7,21abab, 则 55 ab_. 【方法规律】等差数
10、列的性质:(1)通项公式的推广: * () ( ,) nm aanm d n mN(2)若 * ( , ,)klmn k l m nN,则 klmn aaaa;( 3)若 n a, n b为等差数列,且前n项和分别为 n S和nS,则 21 21 mm mm aS bS ,熟记等差数列的一些常用性质可提高解题的速度与正确率,例如第6 题,利 用等差数列的下标性质,可以快速求解问题 【解题技巧】等差数列前n项和的最值问题的方法:二次函数法:将 n S看作关于n的二次函数,运用配 方法, 借助函数的单调性及数形结合,使问题有解; 通项公式法: 求使0 n a(或0 n a)成 立的最大n 值,即可
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