全国各地中考数学真题分类解析:二次函数.doc
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1、 二次函数一、选择题1. ( 2014广东,第10题3分)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的大致图象如图,关于该二次函数,下列说法错误的是()A函数有最小值B对称轴是直线x=C当x,y随x的增大而减小D当1x2时,y0考点:二次函数的性质分析:根据抛物线的开口方向,利用二次函数的性质判断A;根据图形直接判断B;根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性,进而判断C;根据图象,当1x2时,抛物线落在x轴的下方,则y0,从而判断D解答:解:A、由抛物线的开口向下,可知a0,函数有最小值,正确,故本选项不符合题意;B、由图象可知,对称轴为x=,正确,故本选项不符合题意;C、因为a0,所以,当x时,y
2、随x的增大而减小,正确,故本选项不符合题意;D、由图象可知,当1x2时,y0,错误,故本选项符合题意故选D点评:本题考查了二次函数的图象和性质,解题的关键是利用数形结合思想解题2. (2014广西贺州,第10题3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a0)的图象如图所示,则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是()ABCD考点:二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象分析:先根据二次函数的图象得到a0,b0,c0,再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置解答:解:抛物线开口向上,a0,抛物线的对称轴为直线x=0,
3、b0,抛物线与y轴的交点在x轴下方,c0,一次函数y=cx+的图象过第二、三、四象限,反比例函数y=分布在第二、四象限故选B点评:本题考查了二次函数的图象:二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a0)的图象为抛物线,当a0,抛物线开口向上;当a0,抛物线开口向下对称轴为直线x=;与y轴的交点坐标为(0,c)也考查了一次函数图象和反比例函数的图象3(2014年四川资阳,第10题3分)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图,给出下列四个结论:4acb20;4a+c2b;3b+2c0;m(am+b)+ba(m1),其中正确结论的个数是()A4个B3个C2个D1个考点:二次函数图象与
4、系数的关系分析:利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系,需要根据图形,逐一判断解答:解:抛物线和x轴有两个交点,b24ac0,4acb20,正确;对称轴是直线x1,和x轴的一个交点在点(0,0)和点(1,0)之间,抛物线和x轴的另一个交点在(3,0)和(2,0)之间,把(2,0)代入抛物线得:y=4a2b+c0,4a+c2b,错误;把(1,0)代入抛物线得:y=a+b+c0,2a+2b+2c0,b=2a,3b,2c0,正确;抛物线的对称轴是直线x=1,y=ab+c的值最大,即把(m,0)(m0)代入得:y=am2+bm+cab+c,am2+bm+ba,即m(am+b)+ba,正确;即正确的
5、有3个,故选B点评:此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状,对称轴,特殊点的关系,也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法同时注意特殊点的运用4(2014年天津市,第12 题3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图,且关于x的一元二次方程ax2+bx+cm=0没有实数根,有下列结论:b24ac0;abc0;m2其中,正确结论的个数是()A 0B1C2D3考点:二次函数图象与系数的关系分析:由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,进而判断;先根据抛物线的开口向下可知a0,由抛物线与y轴的交点判断c与
6、0的关系,根据对称轴在y轴右侧得出b与0的关系,然后根据有理数乘法法则判断;一元二次方程ax2+bx+cm=0没有实数根,则可转化为ax2+bx+c=m,即可以理解为y=ax2+bx+c和y=m没有交点,即可求出m的取值范围,判断即可解答:解:二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,b24ac0,故正确;抛物线的开口向下,a0,抛物线与y轴交于正半轴,c0,对称轴x=0,ab0,a0,b0,abc0,故正确;一元二次方程ax2+bx+cm=0没有实数根,y=ax2+bx+c和y=m没有交点,由图可得,m2,故正确故选D点评:本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2
7、a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用5(2014新疆,第6题5分)对于二次函数y=(x1)2+2的图象,下列说法正确的是()A开口向下B对称轴是x=1C顶点坐标是(1,2)D与x轴有两个交点考点:二次函数的性质专题:常规题型分析:根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上,根据顶点式得到顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1,从而可判断抛物线与x轴没有公共点解答:解:二次函数y=(x1)2+2的图象开口向上,顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1,抛物线与x轴没有公共点故选C点评:本题考查了二次函数的性质:二次函数y=ax2+bx+c(a0)的顶点式为y=a(x)
8、2+,的顶点坐标是(,),对称轴直线x=b2a,当a0时,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的开口向上,当a0时,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的开口向下6(2014舟山,第10题3分)当2x1时,二次函数y=(xm)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为()AB或C2或D2或或考点:二次函数的最值专题:分类讨论分析:根据对称轴的位置,分三种情况讨论求解即可解答:解:二次函数的对称轴为直线x=m,m2时,x=2时二次函数有最大值,此时(2m)2+m2+1=4,解得m=,与m2矛盾,故m值不存在;当2m1时,x=m时,二次函数有最大值,此时,m2+1=4,解得m=,m=(舍去);当m1时,x
9、=1时,二次函数有最大值,此时,(1m)2+m2+1=4,解得m=2,综上所述,m的值为2或故选C点评:本题考查了二次函数的最值问题,难点在于分情况讨论7.(2014毕节地区,第11题3分)抛物线y=2x2,y=2x2,共有的性质是( )A开口向下B对称轴是y轴C都有最低点Dy随x的增大而减小 考点:二次函数的性质分析:根据二次函数的性质解题解答:解:(1)y=2x2开口向上,对称轴为y轴,有最低点,顶点为原点;(2)y=2x2开口向下,对称轴为y轴,有最高点,顶点为原点;(3)y=x2开口向上,对称轴为y轴,有最低点,顶点为原点故选B点评:考查二次函数顶点式y=a(xh)2+k的性质二次函数
10、y=ax2+bx+c(a0)的图象具有如下性质:当a0时,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的开口向上,x时,y随x的增大而减小;x时,y随x的增大而增大;x=时,y取得最小值,即顶点是抛物线的最低点当a0时,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的开口向下,x时,y随x的增大而增大;x时,y随x的增大而减小;x=时,y取得最大值,即顶点是抛物线的最高点8.(2014孝感,第12题3分)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(1,2),与x轴的一个交点A在点(3,0)和(2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:b24ac0;a+b+c0;ca=2;方程ax2+bx+c2=0有两个相等的实数根其中正
11、确结论的个数为()A1个B2个C3个D4个考点:二次函数图象与系数的关系;抛物线与x轴的交点专题:数形结合分析:由抛物线与x轴有两个交点得到b24ac0;有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=1,则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,所以当x=1时,y0,则a+b+c0;由抛物线的顶点为D(1,2)得ab+c=2,由抛物线的对称轴为直线x=1得b=2a,所以ca=2;根据二次函数的最大值问题,当x=1时,二次函数有最大值为2,即只有x=1时,ax2+bx+c=2,所以说方程ax2+bx+c2=0有两个相等的实数根解答:解:抛物线与x轴有两个交点,b
12、24ac0,所以错误;顶点为D(1,2),抛物线的对称轴为直线x=1,抛物线与x轴的一个交点A在点(3,0)和(2,0)之间,抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,当x=1时,y0,a+b+c0,所以正确;抛物线的顶点为D(1,2),ab+c=2,抛物线的对称轴为直线x=1,b=2a,a2a+c=2,即ca=2,所以正确;当x=1时,二次函数有最大值为2,即只有x=1时,ax2+bx+c=2,方程ax2+bx+c2=0有两个相等的实数根,所以正确故选C点评:本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象为抛物线,当a0,抛物线开口向上;对称轴
13、为直线x=;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b24ac0,抛物线与x轴有两个交点;当b24ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当b24ac0,抛物线与x轴没有交点9(2014台湾,第26题3分)已知a、h、k为三数,且二次函数ya(xh)2k在坐标平面上的图形通过(0,5)、(10,8)两点若a0,0h10,则h之值可能为下列何者?()A1B3C5D7分析:先画出抛物线的大致图象,根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线xh,由于抛物线过(0,5)、(10,8)两点若a0,0h10,则点(0,5)到对称轴的距离大于点(10,8)到对称轴的距离,所以h010h,然后解不等式后进行判断解:抛物线的对
14、称轴为直线xh,而(0,5)、(10,8)两点在抛物线上,h010h,解得h5故选D点评:本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数yax2bxc(a0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a0时,抛物线向上开口;当a0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置,当a与b同号时(即ab0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由决定,b24ac0时,抛物线与x轴有2个交点;b24ac0时,抛物线与x轴有1个交点;b24ac0时,抛物线与x轴没有交点10(201
15、4浙江金华,第9题4分)如图是二次函数的图象,使成立的x的取值范围是【 】A B C D或【答案】D【解析】试题分析:由图象可知,当时,或. 故选D考点:1.曲线上点的坐标与方程的关系;2.数形结合思想的应用11(2014浙江宁波,第12题4分)已知点A(a2b,24ab)在抛物线y=x2+4x+10上,则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为( )A(3,7)B(1,7)C(4,10)D(0,10) 考点:二次函数图象上点的坐标特征;坐标与图形变化对称分析:把点A坐标代入二次函数解析式并利用完全平方公式整理,然后根据非负数的性质列式求出a、b,再求出点A的坐标,然后求出抛物线的对称轴,再根据对称
16、性求解即可解答:解:点A(a2b,24ab)在抛物线y=x2+4x+10上,(a2b)2+4(a2b)+10=24ab,a24ab+4b2+4a8ab+10=24ab,(a+2)2+4(b1)2=0,a+2=0,b1=0,解得a=2,b=1,a2b=221=4,24ab=24(2)1=10,点A的坐标为(4,10),对称轴为直线x=2,点A关于对称轴的对称点的坐标为(0,10)故选D点评:本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的对称性,坐标与图形的变化对称,把点的坐标代入抛物线解析式并整理成非负数的形式是解题的关键12.(2014菏泽第8题3分)如图,RtABC中,AC=BC=2,正方
17、形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上,C、D两点不重合,设CD的长度为x,ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y,则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是( )ABCD考点:动点问题的函数图象专题:数形结合分析:分类讨论:当0x1时,根据正方形的面积公式得到y=x2;当1x2时,ED交AB于M,EF交AB于N,利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x22(x1)2,配方得到y=(x2)2+2,然后根据二次函数的性质对各选项进行判断解答:解:当0x1时,y=x2,当1x2时,ED交AB于M,EF交AB于N,如图,CD=x,则AD=2x,RtABC中,AC=
18、BC=2,ADM为等腰直角三角形,DM=2x,EM=x(2x)=2x2,SENM=(2x2)2=2(x1)2,y=x22(x1)2=x2+4x2=(x2)2+2,y=,故选A13.(2014济宁,第8题3分)“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m、n(mn)是关于x的方程1(xa)(xb)=0的两根,且ab,则a、b、m、n的大小关系是()AmabnBamnbCambnDmanb考点:抛物线与x轴的交点分析:依题意画出函数y=(xa)(xb)图象草图,根据二次函数的增减性求
19、解解答:解:依题意,画出函数y=(xa)(xb)的图象,如图所示函数图象为抛物线,开口向上,与x轴两个交点的横坐标分别为a,b(ab)方程1(xa)(xb)=0转化为(xa)(xb)=1,方程的两根是抛物线y=(xa)(xb)与直线y=1的两个交点由mn,可知对称轴左侧交点横坐标为m,右侧为n由抛物线开口向上,则在对称轴左侧,y随x增大而减少,则有ma;在对称轴右侧,y随x增大而增大,则有bn综上所述,可知mabn故选A点评:本题考查了二次函数与一元二次方程的关系,考查了数形结合的数学思想解题时,画出函数草图,由函数图象直观形象地得出结论,避免了繁琐复杂的计算14(2014年山东泰安,第17题
20、3分)已知函数y=(xm)(xn)(其中mn)的图象如图所示,则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是()ABCD分析:根据二次函数图象判断出m1,n=1,然后求出m+n0,再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可解:由图可知,m1,n=1,所以,m+n0,所以,一次函数y=mx+n经过第二四象限,且与y轴相交于点(0,1),反比例函数y=的图象位于第二四象限,纵观各选项,只有C选项图形符合故选C点评:本题考查了二次函数图象,一次函数图象,反比例函数图象,观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键15.(2014年山东泰安,第20题3分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,
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