2018高考真题全国1卷-3卷数学理答案.pdf
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1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试( 全国卷) 理 1解析:选C.法一:因为z 1i 1i 2i (1i) 2 (1i)( 1i) 2i i2i i,所以 |z| 1,故选 C. 法二:因为z 1i 1i 2i 1i2i(1i) 1i 1i 1i , 所以 |z| 1i 1i |1i| |1i| 2 2 1,故选 C. 2解析:选B.法一:A x|(x 2)(x1)0 x|x2 ,所以 ?RA x| 1x 2 ,故选 B. 法二:因为Ax|x2x20 ,所以 ?RAx|x2x 2 0 x| 1x 2 ,故选 B. 3解析:选A.法一:设建设前经济收入为a,则建设后经济收入为2a,则由饼图
2、可得 建设前种植收入为0.6a,其他收入为0.04a,养殖收入为0.3a.建设后种植收入为0.74a,其 他收入为0.1a,养殖收入为0.6a,养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a,所以新农村建 设后,种植收入减少是错误的故选A. 法二:因为0.60 ,y20 ,根据根与系数的关系,得x1x2 5,x1x24.易知F(1,0) ,所以FM (x11,y1),FN (x21,y2),所以FM FN (x1 1)(x21)y1y2x1x2(xxx2)14x1x24518 8.故选 D. 9解析:选C.函数g(x)f(x)xa存在 2 个零点,即关于x的方程f(x)xa有 2 个不同的实根,即函
3、数f(x)的图象与直线yxa有 2 个交点,作出直线yxa与 函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,a 1,解得a1,故选 C. 10 解析:选A.法一:设直角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 则区域的面积即ABC的面积,为S1 1 2bc ,区域的面积S2 1 2 c 2 2 1 2 b 2 2 a 2 2 2 1 2 bc 1 8 (c 2 b2a2) 1 2 bc 1 2bc , 所以S1S2, 由几何概型的知识知p1p2, 故选 A. 法二:不妨设ABC为等腰直角三角形,ABAC2,则BC22,所以区域的面 积即ABC的面积,为S1 1 2 2 22,区域的面积
4、S2 12 (2)2 2 2 2, 区域的面积S3 (2) 2 2 2 2.根据几何概型的概率计算公式,得p1p2 2 2 ,p3 2 2 ,所以p1p3,p2p3,p1p2p3,故选 A. 11 解析:选B.因为双曲线 x2 3 y21 的渐近线方程为y 3 3 x,所以MON60 . 不妨设过点F的直线与直线y 3 3 x交于点M,由OMN为直角三角形,不妨设OMN 90,则MFO60,又直线MN过点F(2,0),所以直线MN的方程为y3(x2), 由 y3(x2), y 3 3 x, 得 x 3 2 , y 3 2 , 所以M 3 2 , 3 2 ,所 以 |OM| 3 2 2 3 2
5、2 3,所以 |MN|3|OM|3,故选 B. 12 解析:选 A.记该正方体为ABCD-ABCD,正方体的每条棱所在直线与平面 所成 的角都相等,即共点的三条棱AA,AB,AD与平面所成的角都相等如图,连接AB, AD,BD,因为三棱锥A-ABD是正三棱锥,所以AA,AB,AD与平面ABD所成的角 都相等分别取CD,BC,BB,AB,AD,DD的中点E,F,G,H,I,J,连接EF,FG, GH,IH,IJ,JE,易得E,F,G,H,I,J六点共面,平面EFGHIJ与平面ABD平行,且 截正方体所得截面的面积最大又EFFGGHIHIJJE 2 2 ,所以该正六边形的面积 为 6 3 4 2
6、2 2 33 4 ,所以 截此正方体所得截面面积的最大值为 33 4 ,故选 A. 13 解析:作出可行域为如图所示的ABC所表示的阴影区域,作出直线3x2y0, 并平移该直线,当直线过点A(2,0)时,目标函数z3x2y取得最大值,且zmax 3 2 2 0 6. 答案: 6 14 解析:法一:因为Sn 2an1,所以当n1 时,a12a11,解得a1 1; 当n 2 时,a1a22a11,解得a2 2; 当n 3 时,a1a2a3 2a31,解得a3 4; 当n 4 时,a1a2a3a42a41,解得a4 8; 当n 5 时,a1a2a3a4a52a51,解得a5 16 ; 当n 6 时,
7、a1a2a3a4a5a62a61,解得a6 32; 所以S6 1248 1632 63. 法二:因为Sn 2an 1,所以当n1 时,a12a11,解得a1 1,当n2时,an SnSn12an1(2an11),所以an2an1,所以数列 an是以 1 为首项, 2 为公 比的等比数列,所以an 2 n 1,所以 S6 1( 12 6) 12 63. 答案: 63 15 解析:法一:可分两种情况:第一种情况,只有1 位女生入选,不同的选法有C12C24 12( 种);第二种情况,有2 位女生入选,不同的选法有C22C144(种)根据分类加法计数 原理知,至少有1 位女生入选的不同的选法有16
8、种 法二: 从 6 人中任选3 人,不同的选法有C36 20( 种),从 6 人中任选3 人都是男生, 不 同的选法有C344( 种),所以至少有1 位女生入选的不同的选法有20 416( 种) 答案: 16 16 解析:法一:因为f(x)2sin xsin 2x, 所以f(x)2cos x2cos 2x4cos 2x 2cos x24 cos x 1 2 (cos x 1), 由f(x) 0 得 1 2 cos x 1,即 2k 3 x 2k 3 ,kZ, 由f(x) 0 得1 cos x 1 2 ,即 2k x2k 3 或 2k x 2k 3 ,kZ, 所以当x2k 3 (kZ)时,f(x
9、)取得最小值, 且f(x)minf2k 3 2sin2k 3 sin 22k 3 33 2 . 法二:因为f(x)2sin x sin 2x2sin x(1cos x)4sin x 2 cos x 2 . 2cos 2x 2 8sin x 2 cos 3 x 2 8 3 3sin 2x 2cos 6 x 2 , 所以 f(x) 2 64 3 3sin 2 x 2 cos 6 x 2 64 3 . 3sin 2 x 2 cos 2 x 2 cos 2 x 2 cos 2 x 2 4 4 27 4 , 当且仅当3sin 2 x 2 cos 2 x 2 ,即 sin 2 x 2 1 4时取等号, 所
10、以 0f(x) 2 27 4 ,所以 33 2 f(x) 33 2 , 所以f(x)的最小值为 33 2 . 答案: 33 2 17 解: (1) 在ABD中,由正弦定理得 BD sin A AB sinADB. 由题设知, 5 sin 45 2 sinADB ,所以 sin ADB 2 5 . 由题设知,ADB0 ;当p (0.1,1)时,f (p)400 ,故应该对余下的产品作检验 21 解: (1)f(x)的定义域为 (0,) ,f (x) 1 x21 a x x2ax1 x2 . (i)若a 2,则f(x) 0,当且仅当a2,x1 时f(x)0,所以f(x)在(0,) 单调递 减 (i
11、i) 若a2 ,令f(x)0 得,x aa24 2 或x aa24 2 . 当x 0, aa24 2 aa24 2 , 时,f (x)0. 所 以f(x) 在0, aa24 2 , aa24 2 , 单调递减,在 aa24 2 , aa24 2 单调递增 (2) 由(1)知,f(x)存在两个极值点时,当且仅当a2. 由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x 2ax10, 所以 x1x21, 不妨设x11. 由于 f(x1)f(x2) x1x2 1 x1x21 a ln x1ln x2 x1x2 2a ln x1ln x2 x1x2 2a 2ln x2 1 x2 x2 , 所以 f(x1)f(x
12、2) x1x2 1 的解集为 x|x 1 2 (2) 当x (0 , 1)时|x1|ax1|x成立等价于当x (0 , 1)时|ax1|0 ,|ax1|2 ,故排除C,选 B. 4解析:选B.a (2ab )2a2a b2(1)3,故选 B. 5解析: 选 A.法一: 由题意知,e c a 3,所以c3a,所以bc2a22a, 所以 b a 2,所以该双曲线的渐近线方程为y b ax 2x,故选 A. 法二: 由e c a 1 b a 2 3,得 b a 2,所以该双曲线的渐近线方程为y b ax 2x,故选 A. 6解析:选A.因为 cos C2cos 2 C 2 1 2 1 51 3 5
13、,所以由余弦定理,得AB2 AC 2BC22AC BCcos C25 1 2 5 1 3 5 32 ,所以AB42,故选 A. 7解析:选B.由程序框图的算法功能知执行框NN 1 i 计算的是连续奇数的倒数和, 而执行框TT 1 i1 计算的是连续偶数的倒数和,所以在空白执行框中应填入的命令是ii 2,故选 B. 8解析:选C.不超过30 的素数有2, 3,5,7,11, 13 ,17 , 19,23, 29 ,共 10 个,从中随机选取两个不同的数有C210种不同的取法,这10 个数中两个不同的数的和等于 30 的有 3 对,所以所求概率P 3 C210 1 15 ,故选 C. 9解析:选C
14、. 如图,连接BD1,交DB1于O,取AB的中点M,连接DM,OM,易知O为BD1的 中点,所以AD1OM,则MOD为异面直线AD1与DB1所成角因为在长方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,ABBC 1 ,AA13 ,AD1AD 2DD2 1 2 ,DM AD 2 1 2 AB 2 5 2 ,DB1AB 2AD2 DD 2 15, 所以OM 1 2 AD11,OD 1 2 DB1 5 2 ,于是在DMO中,由余弦定理,得 cos MOD 12 5 2 2 5 2 2 2 1 5 2 5 5 ,即异面 直线AD1与DB1所成角的余弦值为 5 5 ,故选 C. 10 解析:选 A.法一:f(x)
15、cos x sin x2cosx 4 ,且函数ycos x在区间 0, 上单调递减,则由0x 4 ,得 4 x 3 4 .因为f(x)在a,a上是减函数,所以 a 4 , a 3 4 , 解得a 4 ,所以 0a 4 ,所以a的最大值是 4 ,故选 A. 法二:因为f(x)cos xsin x,所以f(x) sin xcos x,则由题意,知f(x) sin xcos x 0 在a,a上恒成立,即sin xcos x 0,即2sinx 4 0 在a,a上恒 成立,结合函数y2sinx 4 的图象可知有 a 4 0, a 4 , 解得a 4 ,所以 0a 4 ,所 以a的最大值是 4 ,故选 A
16、. 11 解析: 选 C.因为f(x)是定义域为 (,) 的奇函数, 所以f(x)f(x),且f(0) 0.因为f(1x)f(1x),所以f(x)f(2x),f(x)f(2x),所以f(2x)f(x),所 以f(4x)f(2x)f(x), 所以f(x)是周期函数, 且一个周期为4, 所以f(4)f(0) 0,f(2) f(11)f(11)f(0) 0,f(3)f(12)f(12)f(1) 2,所以f(1) f(2) f(3) f(4)f(50) 12 0f(49) f(50) f(1)f(2)2,故选 C. 12. 解析:选D.由题意可得椭圆的焦点在x轴上,如图所示,设|F1F2|2c,因为P
17、F1F2为 等腰三角形,且F1F2P120 ,所以 |PF2|F1F2|2c,所以 |OF2|c,所以点P坐标为 (c 2ccos 60 , 2csin 60 ),即点P(2c,3c)因为点P在过点A,且斜率为 3 6 的直线上, 所以 3c 2ca 3 6 ,解得 c a 1 4,所以 e 1 4,故选 D. 13 解析:因为y2ln(x1),所以y 2 x1 .当x0 时,y 2,所以曲线y2ln(x 1)在点 (0,0)处的切线方程为y02(x0) ,即y2x. 答案:y 2x 14 解析: 画出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示作出直线xy 0, 平移该直线,当直线过点B(5
18、,4)时,z取得最大值,zmax549. 答案: 9 15 解析:因为 sin cos 1,cos sin 0, 所以 sin 2 cos2 2sin cos 1 , cos 2 sin2 2cos sin 0 ,两式相加可得sin 2 cos 2 sin2 cos 2 2(sin cos cos sin ) 1,所以 sin( ) 1 2 . 答案: 1 2 16 解析:如图所示, 设S在底面的射影为S,连接AS,SS .SAB的面积为 1 2 SASB sin ASB 1 2 SA2 1cos 2 ASB 15 16 SA2 515 ,所以SA 2 80,SA 4 5.因为SA与 底面所成
19、的角为45 , 所以SAS 45,ASSA cos 45 45 2 2 210.所以底面周 长l2 AS 410 ,所以圆锥的侧面积为 1 2 45410 402 . 答案: 402 17 解: (1) 设an的公差为d,由题意得3a13d 15. 由a1 7 得d2.所以 an的通项公式为an2n 9. (2) 由(1)得Snn 28 n(n4) 2 16. 所以当n4 时,Sn取得最小值,最小值为16. 18 解: (1) 利用模型,该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y 30.4 13.5 19 226.1( 亿元 ) 利用模型,该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值
20、为 y 99 17.5 9256.5( 亿元 ) (2) 利用模型得到的预测值更可靠 理由如下: ( ) 从折线图可以看出, 2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线y 30.4 13.5t上下,这说明利用2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述 环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加, 2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010 年开始环境基础设 施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至 2016年的数据建立的线性模型y 99 17.5t可以较好地描述201
21、0年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型 得到的预测值更可靠 ( ) 从计算结果看,相对于2016 年的环境基础设施投资额220 亿元,由模型得到的 预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理,说明利用 模型得到的预测值更可靠 19 解: (1) 由题意得F(1,0),l的方程为yk(x1)(k 0) 设A(x1,y1),B(x2,y2) 由 yk(x1), y 24x 得k2x2(2k 24) xk20. 16k216 0,故x1x2 2k24 k 2 . 所以 |AB|AF|BF|(x11)(x2 1) 4k2 4 k 2 . 由题设知 4k2
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