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1、5 曲线拟合的最小 二乘法 一般的最小二乘逼近 ( 曲线拟合 的最小二乘法 ) 的一般提法是 : 对 给定的一组数据 ( ,) (0,1,) ii x yim , 要求在函数类01 , n中找 一个函数 * ( )yS x , 使误差平方和 2 2*2 2 ( ) 001 ( )min ( ) mmm iiiii S x iii S xyS xy 其中 0011 ()()()()( nn S xaxaxaxnm 带权的最小二乘法: 2 2 2 0 ()()() m iii i xS xfx 其中 ( )0x 是a, b上的权函数。 用最小二乘法求曲线拟合的问 题 , 就 是 在 ()S x 中
2、 求 一 函 数 * ( )yS x ,使 2 2取的最小。它转化 为求多元函数 2 01 00 ( , ,)( )( )( ) mn nijjii ij I a aaxaxf x 的极小点 * 01 (,) n a aa 问题。由求 多元函数极值的必要条件,有 00 2()( )()() mn ijjiiki ij k I xaxf xx a , 1, 0(k 若记 0 (,)()()() m jkijiki i xxx (,) k f , 1,0(k 则上式可改写为 0 (,) n kjjk j ad ), 1,0(nk 这个方程称为法方程,矩阵形式 .Gad 其中 0101 (,),(,
3、) TT nn aa aadd dd , 00010 10111 011 (,)(,)(,) (,)(,)(,) (,)(,)(,) n n nnnn G 由 于 01 , n线 性 无 关 , 故 0G ,方程组存在唯一解 * (0,1,), kk aakn 从而得到函数 ( )f x 的最小二乘解为 * 0011 ( )( )( )( ) nn S xaxaxax 可证 *2 00 ()()()() ()() mm iiiiii ii xS xf xxS xf x 故 * ( )Sx 使所求最小二乘解。 例8 已知一组实验数据,求它的拟 合曲线。 i x 1 2 3 4 5 i f 4 4
4、. 5 6 8 8.5 i 2 1 3 1 1 解:根据所给数据知,可选择线 性函数作拟合曲线。 令 101( )S xaa x ,这里 01 4,1,( )1,( ),mnxxx 故 44 00000110 00 (,)( )( )8,(,)(,) iiiii ii xxx 44 2 110 00 (,)74,(,)47, iiii ii xff 4 1 0 (,)1 4 5 . 5 iii i fxf 由方程组 010 011 822472.77 2274145.51.13 aaa aaa 所求拟合曲线为 * 1 ()2 . 7 71 . 1 3Sxx 例 9 在某化学反应里,根据实 验所
5、得生成物的浓度与时间关系如 下表,求浓度 y 与时间 t 的拟合曲线 ( ).yF t 时 间 t(分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 浓 度 y 10 -3 4. 00 6. 40 8. 00 8. 80 9. 22 9. 50 9. 70 9. 86 10. 00 10. 20 10. 32 10. 42 10. 50 10. 55 10. 58 10. 60 解:将数据标在坐标纸上,可 发现数据符合双曲线函数或指数 函数。 1)双曲线函数拟合 双 曲 线 型 : 1 , b a yt 即 . () t y atb 为了确定 ,ab 令 11
6、 ,yx yt 由数据表 t, y生成数据表 ,.xy 于 是可用x的线性函数 1( ) S xya bx 拟合数据 ( ,)(1, ,16) ii x yi 。方法与上例一样 解方程组 3 3 163.380731.8372 10 ; 3.380731.584350.52886 10 , ab ab 得 80.6621,161.6822.ab 从而有 (1) () , ( 8 0 . 6 6 2 11 6 1 . 6 8 2 2 ) t yFt t 其误差为 (1)(1) ( )(1,16). iii yFti 2)指数函数拟合 拟合曲线形如 . b t ya e对其两 边取对数 lnln.
7、 b ya t 为了确定 , ,a b 令 1 ln,ln,yyAax t 由 ( ,) ii ty 计算出 (,) ii xy , 拟合数据 的曲线仍为 1( ) .S xyA bx 用 例8的方 法计算 出 4.48072,1.0567,Ab 从而 3 1 1 . 3 2 5 31 0, A ae 最后求得 31.0567(2) 11.3253 10( ) t yeFt 误差为 (2)(2) ()(1 , 1 6 ) . iii yFti 3)两个模型的比较 本例经计算可得 (1)3(2)3 max0.568 10 ,max0.277 10 , ii ii 均方误差为 (1) 23(2)2
8、3 11 ()1.19 10 ,()0.34 10 . mm ii ii 由此可知 (2) 2及 (2) 都比较小,所 以用 (2) ()y Ft 作拟合曲线较好。 确定拟合曲线的数学模型需要 选择比较。 用正交函数作最小二乘拟合 法方程组系数矩阵G 是病态 的,但如果 01 ( ),( ),( ) n xxx 是关于 点集 (0,1 ,) i xim 带权 ( )(0,1, ,) i xim 正交的函数族,即 0 0, (,)()()() 0, m jkijiki i k jk xxx Ajk 则方程的解为 * 0 (,) (,) m ki k kk f a (0 , 1 ,kn 且平方误差
9、为 22 *2 22 0 () . n kk k fAa 根 据 给 定 节 点 01 , m xxx 及 权函数 ( )0x ,造出带权 ( )x 正 交的多项式 ( ) n Px 。注意 nm,用 递推公式表示 () k Px ,即 0 110 111 ( )1, ( )()( ), ( )()( )( ) kkkkk Px P xxPx PxxPxPx (0 , 1 ,kn 其中 ( ) k Px 是首项系数为 1的 k 次多 项式,且 2 0 1 2 0 2 0 2 11 1 0 ()() (), (), ()() ()() (,) (,) ()() m iiki ikk k m kk
10、 iki i m iki ikk k m kk iki i xx Px xPxP a PxP xPx xPx PP PP xPx 证明:用归纳法(略) 。 用正交多项式 ( ) k P x 的线性组 合作最小二乘曲线拟合,只要根据 公式逐步求 ( ) k Px 的同时,相应计算 出系数 * 0 2 0 ()()() (,) (,) ()() m iiki ki k m kk iki i xfxPx fP a PP xPx 并逐步把 * ( ) kk a Px 累加到 ( )F x 中去, 最后就可得到所求的拟合曲线 * 0011 ( )( )( )( ) nn yF xa P xa P xa
11、P x 这里 n 可事先给定或在计算过程 中根据误差确定。 用这种方法编程序不用解方程 组,只用递推公式;当逼近次数增 加一次时,只要把程序中循环数增 加 1,其余不用改变。此为目前用 多项式作曲线拟合最好的方法。 多元最小二乘拟合 已知多元函数 12 (,) l yf x xx 的一组测量数 据 12 (, )(1,2, , ) iilii x xx yim ,以 及 一 组 权 数 0(1,2,). i im 要 求函数 1212 1 (,)(,) n nlkkl k Sxxxaxxx 使得 2 0112 1 (,)(, m niiniili i FaaaySxxx 最小,这与前面讲的极值问题完全 一样,系数 01 , n aaa 同样满足法 方程,只是这里 1212 1 (,)(,)(, m kjikiilijii i xxxxxx 求 解 法 方 程 组 就 可 得 到 01 , n aaa ,从而得到 12 (,) nl S x xx ,称为函数 12 (,) l f x xx 的最小二乘拟合。
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