2008全国高中数学联合竞赛一试试题.pdf
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1、2008 全国高中数学联合竞赛一试试题 (A 卷) 一、选择题(本题满分36 分,每小题6 分) 1函数 2 54 ( ) 2 xx f x x 在(,2)上的最小值是() A0 B1 C 2 D3 2设 2,4)A, 2 40Bx xax,若 BA,则实数a的取值范围为() A 1,2) B 1,2 C0,3 D0,3) 3甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1 分,负者得0 分,比赛进行到有一人 比对方多2 分或打满6 局时停止设甲在每局中获胜的概率为 2 3 ,乙在每局中获胜的概率 为 1 3 ,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数的期望 E 为() A. 241 81 B. 26
2、6 81 C. 274 81 D. 670 243 4 若三个棱长均为整数(单位:cm )的正方体的表面积之和为564 cm 2,则这三个正 方体的体积之和为() A. 764 cm 3 或 586 cm 3 B. 764 cm3 C. 586 cm 3 或 564 cm 3 D. 586 cm3 5方程组 0, 0, 0 xyz xyzz xyyzxzy 的有理数解( , , )x y z的个数为() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6设ABC 的内角 A B C,所对的边, ,a b c成等比数列,则 sincotcos sincotcos ACA BCB 的取值范 围是() A.
3、 (0,) B. 51 (0,) 2 C. 5151 (,) 22 D. 51 (,) 2 二、填空题(本题满分54 分,每小题9 分) 7设 ( )f xaxb,其中,a b为实数, 1( ) ( )f xf x, 1( ) ( ) nn fxffx,1,2,3,n, 若 7( ) 128381fxx,则 ab . 8设 ( )cos22 (1 cos )f xxax 的最小值为 1 2 ,则a 9将 24 个志愿者名额分配给3 个学校, 则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的 分配方法共有种 12 图 15 图 10设数列 n a的前n项和 n S满足: 1 (1) nn n Sa n
4、n ,1,2,n,则通项 n a= 11 设( )f x是定义在 R 上的函数, 若(0)2008f,且对任意xR, 满足 (2)( )3 2 x f xf x,(6)( )63 2 x f xf x,则)2008(f= 12 一个半径为1 的小球在一个内壁棱长为 4 6的正四面体容器内可 向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积 是 小球不能接触到的容器内壁的面积共为72 3 三、解答题(本题满分60 分,每小题20 分) 13已知函数|sin|)(xxf的图像与直线ykx)0(k有且仅有三个交点,交点的横 坐标的最大值为,求证: 2 cos1 sinsin34 14解不
5、等式 : 1210864 22 log (3531)1log (1)xxxxx 15如题 15 图, P 是抛物线 2 2yx上的动点,点 B C,在y轴上,圆 22 (1)1xy 内 切于PBC,求PBC 面积的最小值 2008 年全国高中数学联合竞赛加试(B卷) 一、 (本题满分50 分) 如 题 一 图 , 给 定 凸 四 边 形 ABCD ,180BD, P 是 平 面 上 的 动 点 , 令 ()f PPA BCPD CAPCAB ()求证:当()f P达到最小值时,P A B C,四点共圆; 一图 ( ) 设 E 是ABC 外 接 圆 O 的 AB上 一 点 , 满 足 : 3 2
6、 AE AB , 31 BC EC , 1 2 ECBECA ,又 ,DA DC是O的切线,2AC ,求 ( )f P 的最小值 二、 (本题满分50 分) 设( )f x是周期函数,T 和 1 是 ( )f x 的周期且 01T 证明: ()若T为有理数,则存在素数p,使 1 p 是 ( )f x 的周期; ()若T为无理数,则存在各项均为无理数的数列 n a满足 1 10 nn aa (1,2,)n,且每个(1,2,) n an都是( )f x的周期 三、 (本题满分50 分) 设 0 k a,1,2,2008k证明:当且仅当 2008 1 1 k k a 时,存在数列 n x满足以下条件
7、: () 01 0 nn xxx,1,2,3,n; () lim n n x 存在; () 20082007 11 10 nnkn kkn k kk xxa xax ,1,2,3,n 参考答案及评分标准 (A 卷) 说明: 1评阅试卷时,请依据本评分标准选择题只设6 分和 0 分两档,填空题只设9 分和 0 分两档;其他 各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次 2如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划 分档次评分,解答题中5 分为一个档次,不要增加其他中间档次 1C 解 当2x时, 20x,因此 2 1(44)1 (
8、 )(2) 22 xx f xx xx 1 2(2) 2 x x 2,当且仅当 1 2 2 x x 时 上式取等号而此方程有解1(,2)x,因此( )f x在(,2)上的最小值为2 2D 解 因 2 40xax有两个实根 2 1 4 24 aa x, 2 2 4 24 aa x , 故 BA等价于 1 2x且 2 4x,即 2 42 24 aa 且 2 44 24 aa , 解之得03a 3B 解法一 依题意知,的所有可能值为2,4,6. 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为 22215 ()( ) 339 若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果
9、对 下轮比赛是否停止没有影响从而有 5 (2) 9 P , 4520 (4)()( ) 9981 P, 2416 (6)( ) 981 P, 故 52016266 246 9818181 E 解法二 依题意知,的所有可能值为2,4,6. 令 k A表示甲在第k 局比赛中获胜,则 k A表示乙在第k 局比赛中获胜 由独立性与互不相容性得 1212 5 (2)()() 9 PP A AP A A , 1234123412341234 (4)()()()()PP A A A AP A A A AP A A A AP A A A A 33211220 2() ( )( ) () 333381 , 12
10、34123412341234 (6)()()()()PP A A A AP A A A AP A A A AP A A A A 222116 4() () 3381 , 故 52016266 246 9818181 E 4 A 解 设 这 三 个 正 方 体 的 棱 长 分 别 为 , ,a b c , 则 有 222 656 4abc, 222 94abc, 不 妨 设 110abc, 从 而 2222 394cabc, 2 31c 故 610cc只能取 9,8,7,6 若9c,则 222 94913ab,易知 2a ,3b,得一组解( , , )(2,3,9)a b c 若8c, 则 22
11、 946430ab,5b 但 2 23 0b,4b, 从而4b或 5 若5b, 则 2 5a无解,若4b,则 2 14a无解此时无解 若7c,则 22 944945ab,有唯一解3a,6b 若6c,则 22 943658ab,此时 222 258bab, 2 29b故6b,但 6bc,故6b,此时 2 583622a无解 综上,共有两组解 2, 3, 9 a b c 或 3, 6, 7. a b c 体积为 333 1 239764Vcm 3 或 333 2 367586Vcm 3 5B 解 若0z,则 0 0. xy xyy , 解得 0 0 x y , 或 1 1. x y , 若0z,则
12、由 0xyzz 得 1xy 由0xyz 得 z x y 将代入 0xyyzxzy 得 22 0xyxyy 由得 1 x y ,代入化简得 3 (1)(1)0yyy. 易知 3 10yy无有理数根,故1y,由得1x,由得0z,与0z矛盾, 故该方程组共有两组有理数解 0, 0, 0 x y z 或 1, 1, 0. x y z 6C 解 设, ,a b c的公比为 q ,则 2 ,baq caq,而 sincotcossincoscossin sincotcossincoscossin ACAACAC BCBBCBC s i n ()s i n ()s i n s i n ()s i n ()s
13、 i n ACBBb q BCAAa 因此,只需求q 的取值范围 因, ,a b c成等比数列,最大边只能是a或c,因此, ,a b c要构成三角形的三边,必需且 只需abc且bca即有不等式组 2 2 ,aaqaq aqaqa 即 2 2 10, 10. qq qq 解得 1551 , 22 5151. 22 q qq或 从而 5151 22 q,因此所求的取值范围是 5151 (,) 22 7 ab 5 . 解 由题意知 12 ( )(1) nnn n fxa xaaab 1 1 n na a xb a , 由 7( ) 128381fxx得 7 128a, 7 1 381 1 a b a
14、 ,因此2a,3b,5ab 8a23 解 2 ( )2cos122 cosf xxaax 221 2(cos)21 22 a xaa, (1) 2a时,( )f x当cos1x时取最小值14a; (2) 2a时,( )f x当cos1x时取最小值1; (3) 22a时,( )f x当 cos 2 a x时取最小值 21 21 2 aa 又2a或2a时,( )f x的最小值不能为 1 2 , 故 211 21 22 aa,解得23a,23a( 舍去 ) 9方法共有 222 种 解法一 用 4 条棍子间的空隙代表3 个学校,而用表示名额如 | 表示第一、二、三个学校分别有4,18,2 个名额 若把
15、每个“”与每个“|”都视为一个位置,由于左右两端必须是“”,故不同的分 配方法相当于24226 个位置(两端不在内)被2 个“”占领的一种“占位法” “每校至少有一个名额的分法”相当于在24 个“”之间的 23 个空隙中选出2 个空隙 插入“”,故有 2 23 C253种 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种 综上知,满足条件的分配方法共有25331222 种 解法二 设分配给3 个学校的名额数分别为 123 ,x xx,则每校至少有一个名额的分法 数为不定方程 123 24xxx 的正整数解的个数,即方程 123 21xxx的非负整数解的个数
16、,它等于3 个不同元素 中取 21 个元素的可重组合: 21212 32323 HCC253 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种 综上知,满足条件的分配方法共有25331222 种 10 n a= 11 2(1) n n n 解 111 1 (1)(2)(1) nnnnn nn aSSaa nnn n , 即 2 nn a nnnnn n a )1( 1 1 1 )2)(1( 22 1 = )1( 1 )2)(1( 2 nn a nn n , 由此得 2 ) 1( 1 ) )2)(1( 1 ( 1 nn a nn a nn 令 1 (1) n
17、n ba n n , 11 11 22 ba ( 1 0a) , 有 1 1 2 nn bb ,故 1 2 n n b,所以 ) 1( 1 2 1 nn a n n 11)2008(f= 2008 22007 解法一 由题设条件知 (2)( )(4)(2)(6)(4)(6)( )f xf xf xf xf xf xf xf x 24 3 23 263 23 2 xxxx , 因此有 (2)( )3 2 x f xf x ,故 (2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)ffffffff 200620042 3 (2221)(0)f 1003 1 41 3(0)
18、 41 f 2008 22007 解法二 令( )( )2x g xf x,则 2 (2)( )(2)( )223 23 20 xxxx g xg xf xf x, 6 (6)( )(6)( )2263 263 20 xxxx g xg xf xf x, 即 (2)( ), (6)( )g xg xg xg x , 故( )(6)(4)(2)( )g xg xg xg xg x, 12 图 2 12 图 1 得( )g x是周期为2 的周期函数, 所以 200820082008 (2008)(2008)2(0)222007fgg 12面积是723 解 如答 12 图 1,考虑小球挤在一个角时的
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- 2008 全国 高中数学 联合 竞赛 试试
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