2007年考研数学一.pdf
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1、万学教育公共课事业部 北京市海淀区北四环西路66 号第三极创意天地A17层100080 全国公共课客服电话:01062682299 关注您的未来关注中国的未来 - 1 - 2007 年考研数学一真题 一、选择题 (本题共10 小题,每小题4 分,满分40 分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要 求,把所选项前的字母填在题后括号内) (1)当0x 时,与x等价的无穷小量是( ) A. 1 x eB. 1 ln 1 x x C. 11xD.1cosx (2) 曲线 y= 1 ln(1 x e x ), 渐近线的条数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (3)如图,连续函数y=f(x)
2、在区间 -3,-2,2,3上的图形分别是直径为1 的上、下半圆周,在区间-2,0, 0, 2的图形分别是直径为2 的上、下半圆周,设F(x)= 0 ( ) x f t dt.则下列结论正确的是( ) A. F(3)= 3 ( 2) 4 FB. F(3)= 5 (2) 4 FC. F(3)= 3 (2) 4 FD. F(3)= 5 ( 2) 4 F (4)设函数 f(x)在 x=0 处连续,下列命题错误的是( ) A. 若 0 ( ) lim x f x x 存在,则f(0)=0 B. 若 0 ( )() lim x f xfx x 存在,则f(0) =0 C. 若 0 ( ) lim x f
3、x x 存在,则 (0)f=0 D. 若 0 ( )() lim x f xfx x 存在,则 (0)f=0 (5)设函数 f ( x) 在 ( 0, +) 上具有二阶导数, 且“( )fxo, 令 n u=f(n)=1,2, n, 则下列结论正确的是( ) A.若 12 uu,则 n u必收敛B. 若 12 uu,则 n u 必发散 C. 若 12 uu,则 n u 必收敛D. 若 12 uu,则 n u必发散 (6)设曲线 L:f(x, y) = 1 (f(x, y) 具有一阶连续偏导数) ,过第象限内的点M 和第象限内的点N,T 为 L 上 从点 M 到 N 的一段弧,则下列小于零的是(
4、 ) A. ( ,) r x y dxB. ( ,) r f x y dyC. ( ,) r f x y dsD. ( , ) ( ,) xy r fx y dxfx y dy (7)设向量组1,2,3线形无关,则下列向量组线形相关的是:( ) (A) , 122331 (B) , 122331 (C)1223312,2,2(D)1223312,2,2 (8)设矩阵A= 211 1 21 11 2 ,B= 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ,则 A 于 B ( ) (A) 合同,且相似(B) 合同,但不相似 (C) 不合同,但相似(D)既不合同,也不相似 万学教育公共课事业部 北京市海淀区北
5、四环西路66 号第三极创意天地A17层100080 全国公共课客服电话:01062682299 关注您的未来关注中国的未来 - 2 - (9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p01p,则此人第4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为:( ) (A) 2 3 (1)pp(B) 2 6 (1)pp (C) 22 3(1)pp(D) 22 6(1)pp (10) 设随即变量( X,Y)服从二维正态分布,且X 与 Y 不相关,( )Xfx,( )Yfy分别表示X,Y 的概率密 度,则在 Yy 的条件下, X 的条件概率密度|(| )XYfxy为( ) (A)( )Xfx(B) (
6、)Yfy (C) ( )Xfx( )Yfy(D) ( ) ( ) X Y fx fy 二 填空题 :1116 小题,每小题4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上 (11) 3 1 2 1 1 x e dx x _. (12)设( , )f u v为二元可微函数,(,) yx zf xy,则 z x _. (13)二阶常系数非齐次线性方程 2 4 32 x yyye的通解为y_. (14)设曲面 :| 1xyz,则(|)xy ds_. (15)设矩阵 A 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ,则 3 A的秩为 _. (16)在区间( 0,1)中随机地取两个
7、数,则这两个数之差的绝对值小于 1 2 的概率为 _. 三解答题: 1724 小题,共86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 . 222222 ( , )2( , )4,0f x yxyx yDx y xyy(17) (本题满分 11分)求函数在区域 上的最大值和最小值。 万学教育公共课事业部 北京市海淀区北四环西路66 号第三极创意天地A17层100080 全国公共课客服电话:01062682299 关注您的未来关注中国的未来 - 3 - 2 2 (18)(10) 23, 1(01) 4 Ixzdydzxydzdxxydxdy y zxz 本题满分
8、分 计算曲面积分 其中为曲面的上侧 . (19)() ( ),( ) , ( , ) ( )( ),( )( )( , )( )( ). f xg xa ba b f ag af bg ba bfg 本题是 11分 设函数在上连续,在内二阶导数且存在相等的最大值, 证明:存在,使得 0 2 (20)(10) (,)( ) 240,(0)0,(0)1 2 (1),1,2,; 1 (2)( ) n n n nn a xy x yxyyyy aan n y x 本题满分分 设幂级数在内收敛,其和函数满足 证明 求的表达式 . 123 123 2 123 123 (21)(11) 0 20(1) 40
9、 21(2) xxx xxax xxa x xxxa a 本题满分分 设线性方程组 与方程 有公共解,求的值及所有公共解 . (22)设 3 阶对称矩阵A 的特征向量值 123 1,2,2, 1 (1 , 1,1) T 是 A 的属于 1的一个特征向量 , 记 53 4BAAE其中E为 3 阶单位矩阵 ( )I验证 1 是矩阵B的特征向量 ,并求B的全部特征值的特征向量; ()II求矩阵B. (23)设二维变量( ,)x y的概率密度为 2 ( ,) 0 xy f x y 01, 01xy 其他 ( )I求2 P XY; 万学教育公共课事业部 北京市海淀区北四环西路66 号第三极创意天地A17
10、层100080 全国公共课客服电话:01062682299 关注您的未来关注中国的未来 - 4 - ()II求zXY的概率密度 . (24)设总体X的概率密度为 1 0 2 1 ( ,)1 2(1) 0 x f xx 其他 1 X, 2 X, n X是来自总体X的简单随机样本,X是样本均值 ( )I求参数的矩估计量; ()II判断 2 4X是否为 2 的无偏估计量,并说明理由 . 万学教育公共课事业部 北京市海淀区北四环西路66 号第三极创意天地A17层100080 全国公共课客服电话:01062682299 关注您的未来关注中国的未来 - 5 - 2007 年考研数学一真题解析 一、选择题
11、(本题共10 小题,每小题4 分,满分40 分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要 求,把所选项前的字母填在题后括号内) (2)当0x 时,与x等价的无穷小量是(B) A. 1 x eB. 1 ln 1 x x C. 11xD.1cosx (2) 曲线 y= 1 ln(1 x e x ), 渐近线的条数为(D) A.0 B.1 C.2 D.3 (3)如图,连续函数y=f(x) 在区间 -3,-2,2,3上的图形分别是直径为1 的上、下半圆周,在区间-2,0, 0, 2的图形分别是直径为2 的上、下半圆周,设F(x)= 0 ( ) x f t dt.则下列结论正确的是(C) A. F(3
12、)= 3 ( 2) 4 FB. F(3)= 5 (2) 4 FC. F(3)= 3 (2) 4 FD. F(3)= 5 ( 2) 4 F (4)设函数 f(x)在 x=0 处连续,下列命题错误的是(C) A. 若 0 ( ) lim x f x x 存在,则f(0)=0 B. 若 0 ( )() lim x f xfx x 存在,则f(0) =0 C. 若 0 ( ) lim x f x x 存在,则 (0)f=0 D. 若 0 ( )() lim x f xfx x 存在,则 (0)f=0 (5)设函数 f(x)在( 0, +)上具有二阶导数,且“( )fxo, 令 n u=f(n)=1,2
13、, n, 则下列结论正确的是(D) A.若 12 uu,则 n u必收敛B. 若 12 uu,则 n u 必发散 C. 若 12 uu,则 n u 必收敛D. 若 12 uu,则 n u必发散 (6)设曲线 L:f(x, y) = 1 (f(x, y) 具有一阶连续偏导数) ,过第象限内的点M 和第象限内的点N,T 为 L 上 从点 M 到 N 的一段弧,则下列小于零的是(B) A. ( ,) r x y dxB. ( ,) r f x y dyC. ( ,) r f x y dsD. ( , ) ( ,) xy r fx y dxfx y dy (7)设向量组1,2,3线形无关,则下列向量组
14、线形相关的是:(A) (A) , 122331 (B) , 122331 (C)1223312,2,2(D)1223312,2,2 (8)设矩阵A= 211 1 21 11 2 ,B= 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ,则 A 于 B,(B) (A) 合同,且相似(B) 合同,但不相似 (C) 不合同,但相似(D)既不合同,也不相似 万学教育公共课事业部 北京市海淀区北四环西路66 号第三极创意天地A17层100080 全国公共课客服电话:01062682299 关注您的未来关注中国的未来 - 6 - (9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p01p,则此人第4 次射击恰
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