三余弦公式的巧用.pdf
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1、三余弦公式的巧用 1 AO AO AO 12 如图:斜线和平面所成的角为, 斜线在平面上的射影 AB, AC为平面内异于AB的直线, AB与A C的夹角为, 与A C的夹角, 则有: cos =coscos 该公式本质上反映了线面角与线线角之间的数量关系,其本质特征是由两个平面互相垂 直,两个平面内的三条直线所成角的定量关系。在处理异面直线所成角、线面角的问题时效 果明显。下面通过近年高考试题予以说明。 例一: (2005 全国卷 I 第 18 题) 已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,ABCD, PADAB,90底面 ABCD , 且 PA=AD=DC= 2 1 AB=1 ,M是 P
2、B的中点。 ()求 AC与 PB所成的角; 常规解法:过点B作 BE/CA,且 BE=CA ,则 PBE是 AC与 PB所成的角 . 连结 AE,可知 AC=CB=BE=AE= 2 ,又 AB=2 ,所以四边形 ACBE 为正方形 . 由PA 面ABCD 得 PEB=90 在Rt PEB 中BE=2 , PB=5 , . 5 10 cos PB BE PBE. 5 10 arccos所成的角为与PBAC 析:已知条件中有PA底面 ABCD若使用三余弦公式则: PB在平面 ABCD 上的射影 AB , 222210 cos,cos 225 55 PBABACACPB与夹角的余弦值 . 5 10
3、arccos所成的角为与PBAC 评:只要找到三线的夹角即可,无需作图求解。 例二( 2006 福建卷)如图,四面体ABCD 中, A C B O A B M D E O C O 、E分别 BD 、BC的中点, CA =CB =CD =BD =2 ()求证: AO 平面 BCD ; ()求异面直线AB与 CD所成角的大小; 常规方法 方法一:(I )证明:连结 OC ,.BODO ABADAOBD ,.BODO BCCDCOBD在AOC中,由已知可得1,3.AOCO 而2,AC 222, AOCOAC90 , o AOC即.AOOC ,BDOCOAO平面BCD (II )解:取 AC的中点 M
4、 ,连结 OM 、ME 、OE ,由 E为 BC的中点知MEAB,OE DC 直线 OE与 EM所成的锐角就是异面直线AB与 CD所成的角 在 OME 中, 121 ,1, 222 EMABOEDC OM 是直角 AOC斜边 AC上的中线, 1 1, 2 OMAC 2 cos, 4 OEM 异面直线 AB与 CD所成角的大小为 2 arccos. 4 方法二: (II )解:以 O为原点,如图建立空间直角坐标系,则(1,0,0),( 1,0,0),BD 13 (0,3,0),(0,0,1),(,0),( 1,0,1),( 1,3,0). 22 CAEBACD .2 cos, 4 BACD BA
5、 CD BA CD 异面直线 AB与 CD所成角的大小为 2 arccos. 4 由 ( ) 知 : AO 平 面BCD; AB 在 平 面 平 面BCD 上 的 射 影 在BD 上 21 cos,cos 22 ABDCDB异面直线 AB与 CD所成角的大小为 2 arccos. 4 x C A B O D y z E 例三 (2006湖南卷) 如图, 已知两个正四棱锥P-ABCD 与 Q-ABCD 的高分别为 1 和 2,AB=4. ( ) 证明 PQ 平面 ABCD; ( ) 求异面直线 AQ与 PB所成的角 ; ( ) 求点 P到平面 QAD 的距离 . 解法一:() 连结 AC 、BD
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